Paradoxo dos gêmeos. Homero e Ulisses são gêmeos idênticos. Ulisses viaja até um planeta § além do sistema solar, e retorna, enquanto Homero fica na Terra. Do ponto de vista de Homero, o tempo flui mais lentamente para seu irmão. Porém, por simetria, do ponto de vista de Ulisses, é seu irmão quem está se movendo e, portanto, o tempo deve fluir mais lentamente para Homero. Quando os dois se reúnem, qual será o mais idoso? Para fins de cálculo, use os seguintes valores:
- Distância entre a Terra e o planeta P medida no referencial de Homero:
anos-luz.
- Velocidade da nave de Ulisses (tanto na ida quanto na volta) em relação a Homero:
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que está rolando aqui. Temos o Paradoxo dos Gêmeos, que fala sobre como o tempo pode passar de maneiras diferentes para duas pessoas que são gêmeas idênticas, dependendo de como se movem. No nosso caso, Homero fica na Terra enquanto Ulisses viaja para um planeta distante chamado P e depois retorna. A gente vai usar conceitos da Teoria da Relatividade Especial de Einstein, especialmente a ideia de dilatação do tempo, para descobrir qual dos dois será mais idoso quando voltarem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quanto tempo a viagem de Ulisses leva do ponto de vista de Homero, que está na Terra. Sabemos que a distância entre a Terra e o planeta P é de 8,0 anos-luz e que a velocidade da nave de Ulisses é 0,8c (onde
é a velocidade da luz).
A fórmula para o tempo
é:
Onde:
-
anos-luz -
Substituindo os valores:
Então, do ponto de vista de Homero, a viagem de ida e volta de Ulisses leva 10 anos.
Passo 3
Agora, vamos considerar como o tempo passa para Ulisses, que está viajando na nave. De acordo com a Teoria da Relatividade Especial, o tempo passa mais devagar para quem está em movimento em relação a quem está parado. Para calcular essa diferença, usamos o fator de Lorentz (
):
Substituindo
:
Esse fator nos diz quanto o tempo está dilatado para quem está em movimento. Para encontrar o tempo próprio
que Ulisses realmente sente durante a viagem, usamos:
Sabemos que
anos (do ponto de vista de Homero), então:
Então, para Ulisses, a viagem inteira dura cerca de 6 anos.
Resposta
Quando Ulisses retorna, Homero será mais idoso. Enquanto Homero passou 10 anos na Terra, Ulisses envelheceu apenas cerca de 6 anos durante a viagem.