Dentro de uma espaçonave que se move com velocidade (2 c / raiz5) x em relação a um sistema de referência inercial S provido de coordenadas x y z, um menino gira uma pedra presa por um barbante. A constante c denota a velocidade da luz no vácuo. A pedra se move com velocidade angular constante omega z^prime no sistema de referência S^prime, provido de coordenadas x^prime y^prime z^prime, o qual está em repouso em relação ao menino. Determine o deslocamento espaçotemporal (De em S correspondente a uma revolução completa da pedra em S^prime.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma espaçonave que está se movendo com uma velocidade de 2craiz5 na direção do eixo x em relação a um sistema de referência inercial S com coordenadas x, y, z. Dentro dessa espaçonave, que está no sistema de referência S' (em repouso em relação à espaçonave), um menino está girando uma pedra presa a um barbante com velocidade angular constante omega no eixo z'. Queremos descobrir qual é o deslocamento espaço-temporal (De na espaçonave S correspondente a uma revolução completa da pedra na espaçonave S'.
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria da Relatividade Especial de Einstein, especificamente as Transformações de Lorentz, que nos permitem relacionar as coordenadas de eventos em dois sistemas de referência que estão em movimento relativo um ao outro.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o tempo que a pedra leva para completar uma revolução completa no sistema S'. Como a velocidade angular é constante e igual a omega, o tempo necessário para uma revolução completa é dado por:
T' = 2piomega
Esse é o período no sistema de referência da espaçonave.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o período correspondente no sistema S. Devido ao movimento relativo entre os sistemas S e S', o tempo no sistema S será diferente devido à dilatação do tempo na Relatividade Especial. A relação entre os períodos é dada por:
T = gamma T'
onde gamma é o fator de Lorentz dado por:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2
Aqui, v = 2craiz5, então vamos calcular gamma.

Passo 4

Calculando gamma:
v = 2craiz5 v^2c^2 = 4c^25c^2 = 45 gamma = 1raiz1 - 45 = 1raiz15 = raiz5
Então, o período no sistema S é:
T = gamma T' = raiz5 cdot 2piomega = 2pi raiz5omega

Passo 5

Agora, vamos determinar o deslocamento espacial da pedra durante esse tempo no sistema S. Sabemos que a espaçonave está se movendo com velocidade v na direção do eixo x. Portanto, durante o tempo T, a espaçonave (e a pedra) deslocam-se uma distância:
De
Como a velocidade é somente na direção x, não há deslocamento nas direções y e z:
De

Passo 6

Por fim, o deslocamento temporal De no sistema S é simplesmente o período que calculamos:
De

Resposta

O deslocamento espaço-temporal correspondente a uma revolução completa da pedra em S é:
(De

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