Dentro de uma espaçonave que se move com velocidade em relação a um sistema de referência inercial provido de coordenadas , um menino gira uma pedra presa por um barbante. A constante denota a velocidade da luz no vácuo. A pedra se move com velocidade angular constante no sistema de referência , provido de coordenadas , o qual está em repouso em relação ao menino. Determine o deslocamento espaçotemporal em correspondente a uma revolução completa da pedra em .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma espaçonave que está se movendo com uma velocidade de na direção do eixo em relação a um sistema de referência inercial com coordenadas , , . Dentro dessa espaçonave, que está no sistema de referência (em repouso em relação à espaçonave), um menino está girando uma pedra presa a um barbante com velocidade angular constante no eixo . Queremos descobrir qual é o deslocamento espaço-temporal na espaçonave correspondente a uma revolução completa da pedra na espaçonave .
Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria da Relatividade Especial de Einstein, especificamente as Transformações de Lorentz, que nos permitem relacionar as coordenadas de eventos em dois sistemas de referência que estão em movimento relativo um ao outro.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o tempo que a pedra leva para completar uma revolução completa no sistema . Como a velocidade angular é constante e igual a , o tempo necessário para uma revolução completa é dado por:
Esse é o período no sistema de referência da espaçonave.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o período correspondente no sistema . Devido ao movimento relativo entre os sistemas e , o tempo no sistema será diferente devido à dilatação do tempo na Relatividade Especial. A relação entre os períodos é dada por:
onde é o fator de Lorentz dado por:
Aqui, , então vamos calcular .

Passo 4

Calculando :
Então, o período no sistema é:

Passo 5

Agora, vamos determinar o deslocamento espacial da pedra durante esse tempo no sistema . Sabemos que a espaçonave está se movendo com velocidade na direção do eixo . Portanto, durante o tempo , a espaçonave (e a pedra) deslocam-se uma distância:
Como a velocidade é somente na direção , não há deslocamento nas direções e :

Passo 6

Por fim, o deslocamento temporal no sistema é simplesmente o período que calculamos:

Resposta

O deslocamento espaço-temporal correspondente a uma revolução completa da pedra em é:

Exercícios relacionados

Composição de duas transformações de Lorentz. Sejam três sistemas de referência inerciais e alinhados. desloca-se em relação a com velocidade , e desloca-se em relação a com velocidade . As duas velocidades têm o mesmo sentido (sentido positivo do eixo ). (a) Combine as relações das transformações para obter as relações da transformação . Identifique os fatores
Com que velocidade uma nave espacial precisa viajar relativamente à Terra para que 10 anos do tempo terrestre correspondam a exatamente 1 ano da nave espacial?
Defina o fator . Partindo das T.L. para as velocidades, mostre que .
A velocidade invariante. Um flash luminoso tem componentes de velocidade dadas por e no sistema de coordenadas de , isto é, . Utilizando a transformação de Lorentz de velocidade, calcule a velocidade da luz no sistema de referência que se desloca com velocidade relativamente a na direção dos eixos e . Os eixos e são paralelos.