Defina o fator . Partindo das T.L. para as velocidades, mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que definir um fator γ que depende do produto escalar das velocidades e , dado por:
A partir das Transformações de Lorentz para as velocidades, o exercício quer que mostremos que:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Teoria da Relatividade Especial, especificamente como as velocidades se transformam entre diferentes referenciais usando as Transformações de Lorentz. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as Transformações de Lorentz para as velocidades. Se temos uma velocidade em um referencial e queremos saber como essa velocidade se comporta em outro referencial que está se movendo com velocidade em relação ao primeiro, a transformação é dada por:
Aqui, é o fator de Lorentz associado à velocidade :
No nosso caso, vamos usar essa fórmula para relacionar com .

Passo 3

Vamos calcular . Pela definição:
Note que . Então:

Passo 4

Agora, vamos relacionar com usando a Transformação de Lorentz para as velocidades. Porém, isso pode ser bastante complicado devido à natureza vetorial das velocidades. Para simplificar, vamos assumir que as velocidades e estão na mesma direção. Assim, o produto escalar .
Com essa simplificação, a Transformação de Lorentz para a velocidade na mesma direção fica:

Passo 5

Vamos agora calcular :
Substituindo isso na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do parêntese:
Expandindo :
Substituindo de volta:
Simplificando os termos:

Passo 7

Vamos fatorar o numerador:
Perceba que isso pode ser reescrito como:
Portanto, a expressão completa fica:
Simplificando:

Passo 8

Voltando à definição do fator :
E queremos mostrar que:
Observando a expressão que obtivemos:
No caso específico onde , temos:
O que confirma a relação pedida.

Resposta

Após seguir os passos, concluímos que:

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