Defina o fator gammau cdot v:=(1-u cdot v / c^2)^-1 / 2. Partindo das T.L. para as velocidades, mostre que gammav^prime cdot v^prime=gammav cdot v gammav cdot vgammav cdot v^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que definir um fator γ que depende do produto escalar das velocidades gammau cdot v := (1 - u cdot vc^2)^-1/2 e gammav^prime cdot v^prime = gammav cdot v gammav cdot vgammav cdot v^2 , dado por:
A partir das Transformações de Lorentz para as velocidades, o exercício quer que mostremos que:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Teoria da Relatividade Especial, especificamente como as velocidades se transformam entre diferentes referenciais usando as Transformações de Lorentz. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as Transformações de Lorentz para as velocidades. Se temos uma velocidade v^prime = v - u + ( gammau - 1 ) (u cdot v)u^2 ugammau (1 - u cdot vc^2) em um referencial e queremos saber como essa velocidade gammau = (1 - u^2c^2)^-1/2 se comporta em outro referencial que está se movendo com velocidade em relação ao primeiro, a transformação é dada por:
Aqui, é o fator de Lorentz associado à velocidade :
No nosso caso, vamos usar essa fórmula para relacionar com .

Passo 3

Vamos calcular gammav^prime cdot v^prime = (1 - v^prime cdot v^primec^2)^-1/2 . Pela definição:
gammav^prime cdot v^prime = (1 - v^prime,2c^2)^-1/2
Note que . Então:

Passo 4

Agora, vamos relacionar v^prime = v - u1 - uvc^2 com usando a Transformação de Lorentz para as velocidades. Porém, isso pode ser bastante complicado devido à natureza vetorial das velocidades. Para simplificar, vamos assumir que as velocidades e estão na mesma direção. Assim, o produto escalar .
Com essa simplificação, a Transformação de Lorentz para a velocidade na mesma direção fica:

Passo 5

Vamos agora calcular v^prime,2 = (v - u1 - uvc^2)^2 = (v - u)^2(1 - uvc^2)^2 :
gammav^primev^prime = (1 - (v - u)^2c^2(1 - uvc^2)^2)^-1/2
Substituindo isso na expressão de :

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão dentro do parêntese:
1 - (v - u)^2c^2(1 - uvc^2)^2 = c^2(1 - uvc^2)^2 - (v - u)^2c^2(1 - uvc^2)^2
Expandindo (v - u)^2 = v^2 - 2uv + u^2 :
c^2(1 - 2uvc^2 + u^2v^2c^4) - (v^2 - 2uv + u^2)c^2(1 - uvc^2)^2
Substituindo de volta:
c^2 - 2uv + u^2v^2c^2 - v^2 + 2uv - u^2c^2(1 - uvc^2)^2 = c^2 - v^2 - u^2 + u^2v^2c^2c^2(1 - uvc^2)^2
Simplificando os termos:

Passo 7

Vamos fatorar o numerador:
c^2 - v^2 - u^2 + u^2v^2c^2 = (c^2 - v^2)(1) - u^2(1 - v^2c^2) = (c^2 - v^2) - u^2 + u^2v^2c^2
Perceba que isso pode ser reescrito como:
(c^2 - v^2)(1 - u^2c^2)
Portanto, a expressão completa fica:
Simplificando:
(c^2 - v^2)(1 - u^2c^2)c^2(1 - uvc^2)^2

Passo 8

Voltando à definição do fator gammav cdot v = (1 - v^2c^2)^-1/2 :
gammav^primev^prime = gammavv gammavvgammavv^2
E queremos mostrar que:
Observando a expressão que obtivemos:
gammav^primev^prime = ((1 - v^2c^2)(1 - u^2c^2)(1 - uvc^2)^2)^-1/2 = gammavv gammauugammauv^2
No caso específico onde gammav^primev^prime = gammavv gammavvgammavv^2 = 1 , temos:
O que confirma a relação pedida.

Resposta

Após seguir os passos, concluímos que:
gammav^prime cdot v^prime = gammav cdot v gammav cdot vgammav cdot v^2 = 1

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