Defina o fator . Partindo das T.L. para as velocidades, mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que definir um fator γ que depende do produto escalar das velocidades e , dado por:
A partir das Transformações de Lorentz para as velocidades, o exercício quer que mostremos que:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a Teoria da Relatividade Especial, especificamente como as velocidades se transformam entre diferentes referenciais usando as Transformações de Lorentz. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as Transformações de Lorentz para as velocidades. Se temos uma velocidade em um referencial e queremos saber como essa velocidade se comporta em outro referencial que está se movendo com velocidade em relação ao primeiro, a transformação é dada por:
Aqui, é o fator de Lorentz associado à velocidade :
No nosso caso, vamos usar essa fórmula para relacionar com .
Passo 3
Vamos calcular . Pela definição:
Note que . Então:
Passo 4
Agora, vamos relacionar com usando a Transformação de Lorentz para as velocidades. Porém, isso pode ser bastante complicado devido à natureza vetorial das velocidades. Para simplificar, vamos assumir que as velocidades e estão na mesma direção. Assim, o produto escalar .
Com essa simplificação, a Transformação de Lorentz para a velocidade na mesma direção fica:
Passo 5
Vamos agora calcular :
Substituindo isso na expressão de :
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão dentro do parêntese: