Com que velocidade uma nave espacial precisa viajar relativamente à Terra para que 10 anos do tempo terrestre correspondam a exatamente 1 ano da nave espacial?

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? A pergunta é sobre uma nave espacial que quer viajar de tal forma que, enquanto 10 anos passam na Terra, apenas 1 ano passe na nave. Isso envolve o conceito de dilatação do tempo, que faz parte da Teoria da Relatividade Especial de Einstein. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da dilatação do tempo e entender como a velocidade da nave afeta essa diferença de tempo percebido.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação do tempo:
De
Aqui, gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o tempo que passa na Terra, é o tempo que passa na nave, e é o fator de Lorentz, que é dado por:
onde é a velocidade da nave e é a velocidade da luz.

Passo 3

Na nossa situação, sabemos que 10 = gamma times 1 anos (tempo na Terra) e ano (tempo na nave). Vamos substituir esses valores na primeira fórmula:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos substituir 10 = 1raiz1 - v^2c^2 na fórmula do fator de Lorentz:
Vamos resolver para .

Passo 5

Primeiro, invertemos ambos os lados da equação:
110 = raiz1 - v^2c^2
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(110)^2 = 1 - v^2c^2
1100 = 1 - v^2c^2

Passo 6

Vamos isolar v^2c^2 = 1 - 1100 :
v^2c^2 = 99100

Passo 7

Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar vc = raiz99100 :
vc = raiz9910
vc approx 9.94987410 = 0.9949874
Calculando :

Resposta

A nave espacial precisa viajar a aproximadamente (onde é a velocidade da luz) para que 10 anos na Terra correspondam a 1 ano na nave.

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