Com que velocidade uma nave espacial precisa viajar relativamente à Terra para que 10 anos do tempo terrestre correspondam a exatamente 1 ano da nave espacial?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui? A pergunta é sobre uma nave espacial que quer viajar de tal forma que, enquanto 10 anos passam na Terra, apenas 1 ano passe na nave. Isso envolve o conceito de dilatação do tempo, que faz parte da Teoria da Relatividade Especial de Einstein. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da dilatação do tempo e entender como a velocidade da nave afeta essa diferença de tempo percebido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação do tempo:
Aqui,
é o tempo que passa na Terra,
é o tempo que passa na nave, e
é o fator de Lorentz, que é dado por:
onde
é a velocidade da nave e
é a velocidade da luz.
Passo 3
Na nossa situação, sabemos que
anos (tempo na Terra) e
ano (tempo na nave). Vamos substituir esses valores na primeira fórmula:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do fator de Lorentz:
Vamos resolver para
.
Passo 5
Primeiro, invertemos ambos os lados da equação:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Vamos isolar
:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Calculando
:
Resposta
A nave espacial precisa viajar a aproximadamente
(onde
é a velocidade da luz) para que 10 anos na Terra correspondam a 1 ano na nave.
Exercícios relacionados
Paradoxo dos gêmeos. Homero e Ulisses são gêmeos idênticos. Ulisses viaja até um planeta § além do sistema solar, e retorna, enquanto Homero fica na Terra. Do ponto de vista de Homero, o tempo flui mais lentamente para seu irmão. Porém, por simetria, do ponto de vista de Ulisses, é seu irmão quem está se movendo e, portanto, o tempo deve fluir mais lentamente para Homero. Quando os dois se reúnem, qual será o mais idoso? Para fins de cálculo, use os seguintes valores:
- Distância entre a Terra e o planeta P medida no referencial de Homero:
anos-luz. - Velocidade da nave de Ulisses (tanto na ida quanto na volta) em relação a Homero:
.
Verifique que a forma vetorial das transformações de Lorentz,
Composição de duas transformações de Lorentz. Sejam três sistemas de referência inerciais
e
alinhados.
desloca-se em relação a
com velocidade
, e
desloca-se em relação a
com velocidade
. As duas velocidades têm o mesmo sentido (sentido positivo do eixo
). (a) Combine as relações das transformações
para obter as relações da transformação
. Identifique os fatores
Dentro de uma espaçonave que se move com velocidade
em relação a um sistema de referência inercial
provido de coordenadas
, um menino gira uma pedra presa por um barbante. A constante
denota a velocidade da luz no vácuo. A pedra se move com velocidade angular constante
no sistema de referência
, provido de coordenadas
, o qual está em repouso em relação ao menino. Determine o deslocamento espaçotemporal
em
correspondente a uma revolução completa da pedra em
.