Com que velocidade uma nave espacial precisa viajar relativamente à Terra para que 10 anos do tempo terrestre correspondam a exatamente 1 ano da nave espacial?
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui? A pergunta é sobre uma nave espacial que quer viajar de tal forma que, enquanto 10 anos passam na Terra, apenas 1 ano passe na nave. Isso envolve o conceito de dilatação do tempo, que faz parte da Teoria da Relatividade Especial de Einstein. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da dilatação do tempo e entender como a velocidade da nave afeta essa diferença de tempo percebido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação do tempo:
Aqui,
é o tempo que passa na Terra,
é o tempo que passa na nave, e
é o fator de Lorentz, que é dado por:
onde
é a velocidade da nave e
é a velocidade da luz.
Passo 3
Na nossa situação, sabemos que
anos (tempo na Terra) e
ano (tempo na nave). Vamos substituir esses valores na primeira fórmula:
Então,
.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na fórmula do fator de Lorentz:
Vamos resolver para
.
Passo 5
Primeiro, invertemos ambos os lados da equação:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Vamos isolar
:
Passo 7
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar
:
Calculando
:
Resposta
A nave espacial precisa viajar a aproximadamente
(onde
é a velocidade da luz) para que 10 anos na Terra correspondam a 1 ano na nave.