Um compressor admite ar a 18^circ C e 1 atm de pressão e fornece ar comprimido a 2,3 atm de pressão. O compressor opera com uma potência útil de 230 W. Suponha que o compressor opere adiabaticamente. (a) Determine a temperatura do ar comprimido. (b) Qual o volume de ar comprimido, em litros, que é fornecido a cada segundo?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um compressor que está comprimindo ar. A entrada do ar está a 18^circ C e 1 atm de pressão, e a saída é a 2,3 atm. O compressor usa uma potência de 230 W e está operando de forma adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. Precisamos encontrar:
(a) A temperatura do ar comprimido.
(b) O volume de ar comprimido fornecido a cada segundo.
Para isso, vamos usar conceitos de termodinâmica, especialmente o processo adiabático, e algumas fórmulas relacionadas à potência e trabalho realizado pelo compressor.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a temperatura inicial de Celsius para Kelvin, já que nas equações de termodinâmica a temperatura deve estar nessa escala.
A fórmula é:
T(K) = T(°C) + 273,15
Então:
T1 = 18 + 273,15 = 291,15 , K

Passo 3

Agora, vamos lembrar que em um processo adiabático para um gás ideal, a relação entre temperatura e pressão é dada por:
T2T1 = ( P2P1 )^gamma - 1gamma
Onde:
  • $ T_1 $ e $ T_2 $ são as temperaturas inicial e final,
  • $ P_1 $ e $ P_2 $ são as pressões inicial e final,
  • $ \gamma $ é a razão dos calores específicos $ C_p/C_v $ para o ar, que é aproximadamente 1,4.

Passo 4

Vamos aplicar os valores na fórmula:
T2291,15 = ( 2,31 )^1,4 - 11,4 = 2,3^0,41,4 = 2,3^0,2857
Calculando $ 2,3^{0,2857} $, obtemos aproximadamente 1,28.
Então:
2,3^0,2857
Convertendo de volta para Celsius:
T2 = 291,15 times 1,28 approx 372,63 , K

Passo 5

Agora, para a parte (b), precisamos encontrar o volume de ar comprimido fornecido por segundo. Sabemos que a potência ($ P $) está relacionada ao trabalho realizado por segundo. Em um processo adiabático, o trabalho realizado para comprimir o gás é dado por:
P
Onde $ V $ é o volume por segundo que queremos encontrar.
Rearranjando para $ V $:
P = gammagamma - 1 times P1 times V times [ ( P2P1 )^gamma - 1gamma - 1 ]

Passo 6

Vamos inserir os valores:
gamma = 1,4, P1 = 1 , atm = 101325 , Pa, P2 = 2,3 , atm = 2,3 times 101325 = 232,047.5 , Pa
Calculando o termo dentro do colchete:
( 232047,5101325 )^0,41,4 - 1 approx 2,3^0,2857 - 1 approx 1,28 - 1 = 0,28
Agora, substituindo na fórmula do volume:
V = 2301,40,4 times 101325 times 0,28 = 2303,5 times 101325 times 0,28 approx 23099,237,5 approx 0,002319 , m^3/s
Convertendo para litros ( 1 , m^3 = 1000 , l):
V approx 0,002319 times 1000 approx 2,319 , l/s

Resposta

(a) A temperatura do ar comprimido é aproximadamente 99,5^circC.
(b) O volume de ar comprimido fornecido a cada segundo é cerca de 2,32 litros por segundo.

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