Um piloto de avião coloca o curso da direção para oeste com uma bússola e mantém uma velocidade em relação ao ar de 220 km / h. Depois de voar durante 0,500 h, ele se encontra sobre uma cidade a 120 km a oeste e 20 km ao sul de sua posição inicial. Se a velocidade do vento fosse igual a 40 km / h para o sul, em que direção o piloto deveria orientar seu curso para que pudesse se dirigir para oeste? Considere a mesma velocidade em relação ao ar de 220km/h.

Passo 1

Então, vamos lá! Você tem um piloto que quer voar direto para o oeste, mantendo uma velocidade de 220 km/h em relação ao ar. Depois de meia hora (0,5 h) de voo, ele acaba sobrevoando uma cidade que está 120 km a oeste e 20 km ao sul da posição inicial. Além disso, o vento está soprando 40 km/h em direção ao sul. Nosso objetivo aqui é descobrir em qual direção o piloto precisa ajustar o curso para continuar indo exatamente para o oeste, apesar desse vento. Vamos usar conceitos de Vetores de Velocidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. O avião tem uma velocidade em relação ao ar de 220 km/h, mas o vento está empurrando o avião para o sul a 40 km/h. Isso faz com que o avião desvie um pouco do curso pretendido. Queremos ajustar a direção do avião para compensar esse desvio causado pelo vento.

Passo 3

Vamos representar as velocidades como vetores. O vetor velocidade do avião em relação ao ar ($ \vec{V_a} Va çã \vec{V_w} Vw é \vec{V_r} $) que seja exatamente para o oeste.

Passo 4

Matematicamente, podemos escrever isso como:
Va + Vw = Vr
Sabemos que $ \vec{V_r} $ deve ser apenas para o oeste. Vamos decompor os vetores nas direções norte-sul e leste-oeste.

Passo 5

Vamos considerar o leste como direção positiva no eixo x e o norte como positivo no eixo y. Assim, o vento que sopra para o sul tem uma componente y de -40 km/h e nenhum componente x, ou seja:
Vw = (0, -40) , km/h

Passo 6

Queremos que a velocidade resultante $ \vec{V_r} $ seja apenas para o oeste com uma certa magnitude. Vamos supor que essa magnitude seja $ V_r $. Então:
Vr

Passo 7

Agora, substituímos na equação inicial:
Va + (0, -40) = (-Vr, 0)
Isso nos dá duas equações:
Vax = -Vr (componente x)
Vay - 40 = 0 (componente y)

Passo 8

Da segunda equação:
Vay = 40 , km/h
Isso significa que o avião precisa ter uma componente de velocidade para o norte de 40 km/h para cancelar o vento que empurra para o sul.

Passo 9

Agora, vamos relacionar as componentes do vetor velocidade do avião com sua magnitude total. Sabemos que:
Va = raizVax^2 + Vay^2
Substituindo $ V_a = 220 $ km/h e $ V_{a_y} = 40 $ km/h:
Va = 220
Vay = 40
220 = raizVax^2 + 40^2
220^2 = Vax^2 + 1600
Vax^2 = 220^2 - 1600
Como $ V_{a_x} = -V_r $, temos:
Vax^2 = 48400 - 1600 = 46800

Passo 10

Agora, vamos encontrar a direção que o piloto deve apontar. Sabemos que:
tan(theta) = VayVax = 40216.3
theta = arctan(40216.3) approx arctan(0.185) approx 10.5^circ
Isso significa que o piloto deve apontar o avião 10,5 graus para o norte do oeste para compensar o vento e seguir diretamente para o oeste.

Resposta

O piloto deve orientar o curso 10,5 graus ao norte do oeste para voar exatamente para o oeste, compensando o vento de 40 km/h que sopra para o sul.

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