Um disco uniforme de raio R e massa m (ou seja, com momento de inércia I=m R^2 / 2) gira sem deslizar em uma superfície horizontal tendo o seu centro de massa velocidade v. Ao final da superfície horizontal há um plano inclinado sobre o qual o disco também gira sem deslizar. Determine a maior altura h atingida pelo disco.
c) v^2g

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um disco que está rolando sem deslizar sobre uma superfície horizontal e depois sobe um plano inclinado. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a maior altura $ h $ que esse disco consegue alcançar. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica rotacional. Vamos precisar entender um pouquinho sobre energia cinética, energia potencial e como elas se relacionam quando objetos estão rolando sem deslizar.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia que o disco tem quando está rolando na superfície horizontal. O disco tem energia cinética de translação devido ao movimento do seu centro de massa e energia cinética de rotação porque está girando.
A energia cinética total ($ K_{total} $) é a soma dessas duas energias:
Ktotal
Onde:
  • $ m $ é a massa do disco,
  • $ v $ é a velocidade do centro de massa,
  • $ I $ é o momento de inércia,
  • $ \omega $ é a velocidade angular.

Passo 3

Sabemos que o disco está rolando sem deslizar, o que significa que a velocidade linear ($ v v \omega $) estão relacionadas pela equação:
omega
Aqui, $ R $ é o raio do disco. Isso nos permite substituir $ \omega $ em termos de $ v $:
v = omega R

Passo 4

Além disso, o enunciado nos dá o momento de inércia do disco:
I = 12 m R^2
Agora, vamos substituir $ I $ e $ \omega $ na equação da energia cinética total:
I
Simplificando:
omega

Passo 5

Quando o disco sobe o plano inclinado, essa energia cinética é convertida em energia potencial gravitacional ($ U $) no ponto mais alto da subida:
U
Aqui, $ g $ é a aceleração devido à gravidade e $ h $ é a altura que queremos determinar.

Passo 6

Para encontrar a altura máxima $ h $, igualamos a energia cinética total à energia potencial:
h
Podemos cancelar $ m $ dos dois lados:
34 m v^2 = m g h

Passo 7

Agora, basta resolver para $ h $:
h

Resposta

A maior altura atingida pelo disco é $ h = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{v^{2}}{g} $.

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