O comprimento l, a largura w e a altura h de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as dimensões da caixa são l = 1 m, w = h = 2 m, e l e w estão aumentando a uma taxa de 2 m/s, ao passo que h está diminuindo à taxa de 3 m/s. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.
A área da superfície.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa cujas medidas (comprimento l, largura w e altura h) estão mudando com o tempo. No momento que a gente está analisando, o l está valendo 1 metro, e tanto o w quanto o h estão valendo 2 metros. Sabemos também que o comprimento l e a largura w estão aumentando a uma taxa de , enquanto a altura h está diminuindo a uma taxa de . Nosso objetivo aqui é descobrir a que velocidade a área da superfície dessa caixa está mudando nesse instante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo relacionados às taxas de variação e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área da superfície de uma caixa retangular. A fórmula é:
Isso porque a caixa tem duas faces de cada tipo: duas de , duas de e duas de .

Passo 3

Agora, queremos saber como essa área está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar . Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo:
Aplicando a regra do produto para cada termo:

Passo 4

Vamos substituir os valores que a gente conhece no momento analisado:
  • (o sinal negativo indica que a altura está diminuindo)
Calculando cada derivada:

Passo 5

Agora, somamos tudo dentro da derivada da área:

Resposta

A área da superfície da caixa está aumentando a uma taxa de nesse instante.

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