O comprimento
, a largura
e a altura
de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as dimensões da caixa são
, e
e
estão aumentando a uma taxa de
, ao passo que
está diminuindo à taxa de
. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.
A área da superfície.
A área da superfície.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa cujas medidas (comprimento
, largura
e altura
) estão mudando com o tempo. No momento que a gente está analisando, o
está valendo 1 metro, e tanto o
quanto o
estão valendo 2 metros. Sabemos também que o comprimento
e a largura
estão aumentando a uma taxa de
, enquanto a altura
está diminuindo a uma taxa de
. Nosso objetivo aqui é descobrir a que velocidade a área da superfície dessa caixa está mudando nesse instante. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo relacionados às taxas de variação e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área da superfície de uma caixa retangular. A fórmula é:
Isso porque a caixa tem duas faces de cada tipo: duas de
, duas de
e duas de
.
Passo 3
Agora, queremos saber como essa área está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar
. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo:
Aplicando a regra do produto para cada termo:
Passo 4
Vamos substituir os valores que a gente conhece no momento analisado:
-
-
-
-
-
-
(o sinal negativo indica que a altura está diminuindo)
Calculando cada derivada:
Passo 5
Agora, somamos tudo dentro da derivada da área:
Resposta
A área da superfície da caixa está aumentando a uma taxa de
nesse instante.