Considere a função .
(1,5 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função para os seguintes valores de e e represente-as num mesmo plano cartesiano.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . O conteúdo envolve curvas de nível em funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos saber como encontrar essas curvas para valores específicos de .
Passo 2
Curvas de nível são as curvas no plano onde a função mantém um valor constante. Isso significa que para cada valor de , temos uma equação que relaciona e .
Passo 3
Vamos encontrar a curva de nível para .
Substituímos por 1 na função:
Resolvendo para :
Essa é a equação de um círculo com raio 1 e centro na origem.
Passo 4
Agora, para :
Substituímos por 2 na função:
Resolvendo para :
Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem.
Passo 5
Por fim, para :
Substituímos por 3 na função:
Resolvendo para :
Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem.
Resposta
As equações das curvas de nível da função para os valores de , e são:
No plano cartesiano, essas curvas são círculos concêntricos com centro na origem e raios , e , respectivamente.