Considere a função .
(1,5 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função para os seguintes valores de e e represente-as num mesmo plano cartesiano.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . O conteúdo envolve curvas de nível em funções de duas variáveis. Para resolver, precisamos saber como encontrar essas curvas para valores específicos de .

Passo 2

Curvas de nível são as curvas no plano onde a função mantém um valor constante. Isso significa que para cada valor de , temos uma equação que relaciona e .

Passo 3

Vamos encontrar a curva de nível para .
Substituímos por 1 na função:
Resolvendo para :
Essa é a equação de um círculo com raio 1 e centro na origem.

Passo 4

Agora, para :
Substituímos por 2 na função:
Resolvendo para :
Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem.

Passo 5

Por fim, para :
Substituímos por 3 na função:
Resolvendo para :
Essa é a equação de um círculo com raio e centro na origem.

Resposta

As equações das curvas de nível da função para os valores de , e são:
No plano cartesiano, essas curvas são círculos concêntricos com centro na origem e raios , e , respectivamente.

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A área da superfície.
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