Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identifique os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão , onde e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante . O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplique toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Para encontrar , integre ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, isole dividindo ambos os lados por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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O comprimento , a largura e a altura de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as dimensões da caixa são , e e estão aumentando a uma taxa de , ao passo que está diminuindo à taxa de . Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.
A área da superfície.
Considere a função .
(1,5 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função para os seguintes valores de e e represente-as num mesmo plano cartesiano.
Resolva as equações diferenciais abaixo:
(1,0 ponto) Verifique se a função a seguir é ou não contínua no ponto dado deixando claro como chegou à conclusão: