Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução dessa equação.
Passo 2
Primeiro, identifique os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão
, onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplique toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Observe que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Para encontrar
, integre ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, isole
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
O comprimento
, a largura
e a altura
de uma caixa variam com o tempo. A certo instante as dimensões da caixa são
, e
e
estão aumentando a uma taxa de
, ao passo que
está diminuindo à taxa de
. Nesse instante, determine as taxas nas quais as seguintes quantidades estão variando.
A área da superfície.
A área da superfície.
Considere a função
.
(1,5 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função para os seguintes valores de
e
e represente-as num mesmo plano cartesiano.
(1,5 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função
Resolva as equações diferenciais abaixo:
(1,0 ponto) Verifique se a função a seguir é ou não contínua no ponto dado deixando claro como chegou à conclusão: