Resolva as equações diferenciais abaixo: (x^2 + y^2) * y' = x * y

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa resolver a equação diferencial . Isso faz parte do conteúdo de Equações Diferenciais, especificamente envolvendo métodos de resolução para equações que podem ser separáveis ou homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar manipular a equação para isolarmos e ver se conseguimos separar as variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação. Temos:
Dividindo ambos os lados por , conseguimos:

Passo 3

Agora, vamos reescrever essa equação de uma forma que nos ajude a separar as variáveis e . Podemos manipular a equação para obter uma forma que se pareça com , o que indica que a equação é homogênea.
Dividindo o numerador e denominador por , temos:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja . Assim, . Agora, vamos calcular em termos de e :

Passo 5

Substituindo na equação original, temos:
Agora, vamos resolver para :
Assim, a equação se torna:

Passo 6

Agora, vamos separar as variáveis e :
Simplificando o lado esquerdo:

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados:
Calculando as integrais:
Então:

Passo 8

Agora, substituímos de volta :
Simplificando:
Multiplicando todos os termos por :
Onde é uma constante geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

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