O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de
enquanto sua largura diminui a uma taxa de
. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm , quão rápido a área do retângulo está variando?
Passo 1
Vamos resolver um problema de taxas relacionadas em Cálculo. A gente tem um retângulo cujo comprimento está aumentando e a largura está diminuindo com certas taxas. Precisamos descobrir como a área desse retângulo está mudando quando o comprimento é 20 cm e a largura é 10 cm. Para isso, vamos usar derivadas para relacionar as taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o comprimento do retângulo. - Seja
a largura do retângulo. - A área
do retângulo é dada por .
Passo 3
Agora, queremos encontrar como a área
está mudando no tempo, ou seja,
. Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo
.
Passo 4
Derivando
em relação a
, usamos a regra do produto:
Aqui,
é a taxa de variação do comprimento e
é a taxa de variação da largura.
Passo 5
Substituímos os valores fornecidos:
-
-
(negativo porque a largura está diminuindo) -
-
Passo 6
Aplicando esses valores na fórmula:
Resposta
A área do retângulo está aumentando a uma taxa de 40 cm²/s quando o comprimento é 20 cm e a largura é 10 cm.