O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de 8 cm/s enquanto sua largura diminui a uma taxa de 2 cm/s. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm , quão rápido a área do retângulo está variando?

Passo 1

Vamos resolver um problema de taxas relacionadas em Cálculo. A gente tem um retângulo cujo comprimento está aumentando e a largura está diminuindo com certas taxas. Precisamos descobrir como a área desse retângulo está mudando quando o comprimento é 20 cm e a largura é 10 cm. Para isso, vamos usar derivadas para relacionar as taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • Seja o comprimento do retângulo.
  • Seja a largura do retângulo.
  • A área do retângulo é dada por .

Passo 3

Agora, queremos encontrar como a área está mudando no tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo .

Passo 4

Derivando em relação a , usamos a regra do produto:
Aqui, é a taxa de variação do comprimento e é a taxa de variação da largura.

Passo 5

Substituímos os valores fornecidos:
  • (negativo porque a largura está diminuindo)

Passo 6

Aplicando esses valores na fórmula:

Resposta

A área do retângulo está aumentando a uma taxa de 40 cm²/s quando o comprimento é 20 cm e a largura é 10 cm.

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