Um holofote no chão ilumina uma parede a uma distância de 10 m . Um homem de 2 m de altura caminha do holofote em direção à parede a uma velocidade constante de
. Qual a velocidade de descrescimento de sua sombra sobre a parede quando o homem esta a
da parede?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um holofote no chão que está a 10 metros de uma parede. Um cara de 2 metros de altura está caminhando em direção à parede, saindo do holofote, à uma velocidade constante de 3 metros por segundo. A questão quer saber: quando esse cara está a 8 metros da parede, com que rapidez a sombra dele na parede está diminuindo?
Aqui, vamos usar conceitos de triângulos semelhantes e taxas relacionadas para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma figura para visualizar a situação. Imagine o holofote no ponto A, a parede no ponto B, e o homem no ponto C, que está se movendo de A em direção a B. A distância total entre A e B é 10 metros, e quando o homem está a 8 metros de B, ele está a 2 metros de A.
Passo 3
Agora, vamos identificar dois triângulos importantes aqui:
- Triângulo grande: formado pelo holofote (A), a ponta da sombra na parede (D) e a base da parede (B).
- Triângulo pequeno: formado pelo holofote (A), o homem © e a sua altura.
Esses triângulos são semelhantes porque os ângulos correspondentes são iguais (compartilham o ângulo no holofote e têm ângulos retos).
Passo 4
Vamos definir algumas variáveis:
- Seja
a distância do homem até o holofote. Sabemos que está diminuindo a uma taxa de (negativo porque está se aproximando da parede). - Seja
a altura da sombra na parede. Queremos encontrar .
Pela similaridade dos triângulos, podemos relacionar as proporções:
Ou seja:
Passo 5
Vamos resolver a equação para
:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo
:
Substituindo
e
:
Resposta
A velocidade de descrescimento da sombra do homem sobre a parede quando ele está a 8 metros da parede é de 15 metros por segundo.
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