A medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo está decrescendo a uma taxa de
. Se o comprimento da hipotenusa for constante igual a 40 cm , determine a velocidade com que a área esta variando, quando a medida do ângulo agudo for
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo retângulo com um ângulo agudo que está diminuindo de tamanho. A hipotenusa desse triângulo é sempre 40 cm. Queremos descobrir quão rápido a área desse triângulo está mudando quando o ângulo agudo é
radianos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas da matemática, que ajuda a entender como uma quantidade muda em relação a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo retângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, os catetos são os dois lados que formam o ângulo reto. No nosso caso, a hipotenusa é constante, então precisamos expressar os catetos em termos do ângulo
.
Passo 3
Vamos chamar a hipotenusa de
(que é 40 cm) e o ângulo agudo de
. Usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
Então, substituindo na fórmula da área:
Passo 4
Agora, queremos saber como a área
está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar
. Para isso, vamos diferenciar a expressão da área em relação ao tempo
:
Aqui, usamos a regra do produto e as derivadas das funções seno e cosseno.
Passo 5
Sabemos que
(a taxa de variação do ângulo) e
. Vamos substituir esses valores na equação:
Passo 6
Calculando os valores de
e
:
Substituindo na equação:
Passo 7
Simplificando os cálculos:
Então:
Passo 8
Continuando:
Então:
Resposta
A área do triângulo está diminuindo a uma taxa de
quando o ângulo agudo mede
radianos.
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