A medida de um ângulo agudo de um triângulo retângulo está decrescendo a uma taxa de . Se o comprimento da hipotenusa for constante igual a 40 cm , determine a velocidade com que a área esta variando, quando a medida do ângulo agudo for ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo retângulo com um ângulo agudo que está diminuindo de tamanho. A hipotenusa desse triângulo é sempre 40 cm. Queremos descobrir quão rápido a área desse triângulo está mudando quando o ângulo agudo é radianos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de taxas relacionadas da matemática, que ajuda a entender como uma quantidade muda em relação a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um triângulo retângulo pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, os catetos são os dois lados que formam o ângulo reto. No nosso caso, a hipotenusa é constante, então precisamos expressar os catetos em termos do ângulo .

Passo 3

Vamos chamar a hipotenusa de (que é 40 cm) e o ângulo agudo de . Usando as funções trigonométricas seno e cosseno:
Então, substituindo na fórmula da área:

Passo 4

Agora, queremos saber como a área está mudando com o tempo, ou seja, queremos encontrar . Para isso, vamos diferenciar a expressão da área em relação ao tempo :
Aqui, usamos a regra do produto e as derivadas das funções seno e cosseno.

Passo 5

Sabemos que (a taxa de variação do ângulo) e . Vamos substituir esses valores na equação:

Passo 6

Calculando os valores de e :
Substituindo na equação:

Passo 7

Simplificando os cálculos:
Então:

Passo 8

Continuando:
Então:

Resposta

A área do triângulo está diminuindo a uma taxa de quando o ângulo agudo mede radianos.

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