O comprimento
de um retângulo a uma taxa de
, enquanto a largura
aumenta a uma taxa de
. Encontre as taxas de variação para (a) a área, (b) o perímetro e © os comprimentos das diagonais do retângulo quando
e
. Quais medidas estão aumentando e quais estão diminuindo?
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um retângulo cujo comprimento
está aumentando a uma taxa de
e a largura
também está aumentando a uma taxa de
. A gente precisa encontrar como a área, o perímetro e as diagonais desse retângulo estão mudando quando
e
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a taxa de variação da área
do retângulo. A área de um retângulo é dada por:
Para achar como a área está mudando no tempo, derivamos ambos os lados em relação ao tempo
:
Sabendo que
e
, e substituindo
e
:
Parece que o valor fornecido estava diferente, mas seguindo os passos, chegamos a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a taxa de variação do perímetro
. O perímetro de um retângulo é dado por:
Derivando em relação ao tempo:
Substituindo os valores:
O perímetro está aumentando a
.
Passo 4
Por último, vamos calcular a taxa de variação do comprimento da diagonal
. A diagonal de um retângulo pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras:
Derivando em relação ao tempo:
Simplificando:
Substituindo os valores:
A taxa de variação da diagonal é
.
Resposta
(a) A taxa de variação da área é
;
(b) A taxa de variação do perímetro é ;
© A taxa de variação da diagonal é .
(b) A taxa de variação do perímetro é
© A taxa de variação da diagonal é
Todas as medidas estão aumentando.
Exercícios relacionados
Determine as seguintes derivadas
b)
Resposta:
b)
Resposta:
Determine a derivada das seguintes funções:
i)
Resposta:
i)
Resposta:
Determine as seguintes derivadas
i)
Resposta:
i)
Resposta:
O raio
e a altura
de um cilindro circular estão relacionados com o volume
do cilindro pela fórmula
.
b) Como está relacionada a
se nem
nem
são constantes.
Resposta:
b) Como
Resposta: