O comprimento de um retângulo a uma taxa de , enquanto a largura aumenta a uma taxa de . Encontre as taxas de variação para (a) a área, (b) o perímetro e © os comprimentos das diagonais do retângulo quando e . Quais medidas estão aumentando e quais estão diminuindo?
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um retângulo cujo comprimento está aumentando a uma taxa de e a largura também está aumentando a uma taxa de . A gente precisa encontrar como a área, o perímetro e as diagonais desse retângulo estão mudando quando e . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, mais especificamente derivadas em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a taxa de variação da área do retângulo. A área de um retângulo é dada por:
Para achar como a área está mudando no tempo, derivamos ambos os lados em relação ao tempo :
Sabendo que e , e substituindo e :
²
Parece que o valor fornecido estava diferente, mas seguindo os passos, chegamos a ².

Passo 3

Agora, vamos calcular a taxa de variação do perímetro . O perímetro de um retângulo é dado por:
Derivando em relação ao tempo:
Substituindo os valores:
O perímetro está aumentando a .

Passo 4

Por último, vamos calcular a taxa de variação do comprimento da diagonal . A diagonal de um retângulo pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras:
Derivando em relação ao tempo:
Simplificando:
Substituindo os valores:
A taxa de variação da diagonal é .

Resposta

(a) A taxa de variação da área é ²;
(b) A taxa de variação do perímetro é ;
© A taxa de variação da diagonal é .
Todas as medidas estão aumentando.

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Determine as seguintes derivadas
b)
Resposta:
Determine a derivada das seguintes funções:
i)
Resposta:
Determine as seguintes derivadas
i)
Resposta:
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Resposta: