O raio e a altura de um cilindro circular estão relacionados com o volume do cilindro pela fórmula .
b) Como está relacionada a se nem nem são constantes.
Resposta:

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre o volume de um cilindro, que depende do raio e da altura segundo a fórmula . O conteúdo aqui é de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como as taxas de variação estão relacionadas quando temos funções que dependem de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar essa fórmula em relação ao tempo.

Passo 2

Como tanto o raio quanto a altura podem estar mudando com o tempo, queremos saber como o volume muda nesse cenário. Isso significa que precisamos calcular a derivada de em relação ao tempo , ou seja, .

Passo 3

Para encontrar , usamos a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
Aqui, é a derivada parcial de em relação a , e é a derivada parcial de em relação a .

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:

Resposta

Exercícios relacionados

Determine as seguintes derivadas
i)
Resposta:
O comprimento de um retângulo a uma taxa de , enquanto a largura aumenta a uma taxa de . Encontre as taxas de variação para (a) a área, (b) o perímetro e © os comprimentos das diagonais do retângulo quando e . Quais medidas estão aumentando e quais estão diminuindo?
Resposta:
Suponha que o raio e a área de um círculo sejam funções deriváveis de . Escreva uma equação que relacione .
Resposta:
Simplifique sendo dados:
l)