O raio
e a altura
de um cilindro circular estão relacionados com o volume
do cilindro pela fórmula
.
b) Como
está relacionada a
se nem
nem
são constantes.
Resposta:
b) Como
Resposta:
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre o volume
de um cilindro, que depende do raio
e da altura
segundo a fórmula
. O conteúdo aqui é de Cálculo Diferencial, especificamente sobre como as taxas de variação estão relacionadas quando temos funções que dependem de mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar essa fórmula em relação ao tempo.
Passo 2
Como tanto o raio
quanto a altura
podem estar mudando com o tempo, queremos saber como o volume
muda nesse cenário. Isso significa que precisamos calcular a derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a regra da cadeia para funções de múltiplas variáveis. A regra da cadeia nos diz que:
Aqui,
é a derivada parcial de
em relação a
, e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine as seguintes derivadas
i)
Resposta:
i)
Resposta:
O comprimento
de um retângulo a uma taxa de
, enquanto a largura
aumenta a uma taxa de
. Encontre as taxas de variação para (a) a área, (b) o perímetro e © os comprimentos das diagonais do retângulo quando
e
. Quais medidas estão aumentando e quais estão diminuindo?
Resposta:
Resposta:
Suponha que o raio
e a área
de um círculo sejam funções deriváveis de
. Escreva uma equação que relacione
.
Resposta:
Resposta:
Simplifique
sendo dados:
l)
l)