Os comprimentos de onda das extremidades do espectro visível são aproximadamente 400 nm (violeta) e 700 nm (vermelho). (a) Calcule a largura angular do espectro visível de primeira ordem produzido por uma rede plana com 600 fendas por milímetro quando uma luz branca incide perpendicularmente sobre a rede. (b) Os espectros de primeira ordem e segunda ordem se sobrepõem? E os espectros de segunda ordem e terceira ordem?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os comprimentos de onda das extremidades do espectro visível: 400 nm (violeta) e 700 nm (vermelho). O problema envolve difração por uma rede plana, que é um conceito de óptica onde a luz branca se decompõe em suas cores componentes ao passar por uma rede com muitas fendas. Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula da rede de difração:
Aqui,
é a distância entre as fendas,
é o ângulo de difração,
é a ordem da difração, e
é o comprimento de onda da luz.
Passo 2
Vamos começar calculando a distância entre as fendas (
). A rede tem 600 fendas por milímetro, o que significa que:
Passo 3
Agora, vamos calcular os ângulos de difração para os comprimentos de onda extremos da luz visível na primeira ordem (
).
Para
:
Para
:
Passo 4
A largura angular do espectro visível na primeira ordem é a diferença entre os dois ângulos calculados:
Passo 5
Agora, vamos analisar se os espectros de diferentes ordens se sobrepõem.
-
Entre a primeira e a segunda ordem: Para que se sobreponham, deveria existir um comprimento de onda onde
. Isso implicaria . Considerando que o menor comprimento de onda é 400 nm, seria 200 nm, que está fora do espectro visível. Portanto, não há sobreposição entre a primeira e a segunda ordem. -
Entre a segunda e a terceira ordem: Aqui, para sobreposição, precisaríamos que
, ou seja, . Se tomarmos , então , que está dentro do espectro visível. Portanto, há sobreposição entre a segunda e a terceira ordem.
Resposta
(a) A largura angular do espectro visível de primeira ordem é aproximadamente 10,9 graus.
(b) Os espectros de primeira e segunda ordem não se sobrepõem, enquanto os espectros de segunda e terceira ordem se sobrepõem.