Os comprimentos de onda das extremidades do espectro visível são aproximadamente 400 nm (violeta) e 700 nm (vermelho). (a) Calcule a largura angular do espectro visível de primeira ordem produzido por uma rede plana com 600 fendas por milímetro quando uma luz branca incide perpendicularmente sobre a rede. (b) Os espectros de primeira ordem e segunda ordem se sobrepõem? E os espectros de segunda ordem e terceira ordem?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos os comprimentos de onda das extremidades do espectro visível: 400 nm (violeta) e 700 nm (vermelho). O problema envolve difração por uma rede plana, que é um conceito de óptica onde a luz branca se decompõe em suas cores componentes ao passar por uma rede com muitas fendas. Para resolver essa questão, vamos usar a fórmula da rede de difração:
d cdot sin theta = m cdot lambda
Aqui, é a distância entre as fendas, é o ângulo de difração, é a ordem da difração, e é o comprimento de onda da luz.

Passo 2

Vamos começar calculando a distância entre as fendas ( d = 1600 , fendas/mm = 1600 times 10^3 , fendas/m = 1.6667 times 10^-6 , m , (ou 1666.7 nm) ). A rede tem 600 fendas por milímetro, o que significa que:

Passo 3

Agora, vamos calcular os ângulos de difração para os comprimentos de onda extremos da luz visível na primeira ordem ( sin theta1 = 1 times 4001666.7 approx 0.24 theta1 = arcsin(0.24) approx 13.9^circ ).
Para sin theta2 = 1 times 7001666.7 approx 0.42 theta2 = arcsin(0.42) approx 24.8^circ :
Para :

Passo 4

A largura angular do espectro visível na primeira ordem é a diferença entre os dois ângulos calculados:
Largura Angular = theta2 - theta1 approx 24.8^circ - 13.9^circ = 10.9^circ

Passo 5

Agora, vamos analisar se os espectros de diferentes ordens se sobrepõem.
  • Entre a primeira e a segunda ordem: Para que se sobreponham, deveria existir um comprimento de onda onde . Isso implicaria . Considerando que o menor comprimento de onda é 400 nm, seria 200 nm, que está fora do espectro visível. Portanto, não há sobreposição entre a primeira e a segunda ordem.
  • Entre a segunda e a terceira ordem: Aqui, para sobreposição, precisaríamos que , ou seja, . Se tomarmos , então , que está dentro do espectro visível. Portanto, há sobreposição entre a segunda e a terceira ordem.

Resposta

(a) A largura angular do espectro visível de primeira ordem é aproximadamente 10,9 graus.
(b) Os espectros de primeira e segunda ordem não se sobrepõem, enquanto os espectros de segunda e terceira ordem se sobrepõem.

Exercícios relacionados