Usando as técnicas da substituição (direta) ou da integração por partes, encontre a integral indefinida. Justifique sua resposta. integral cos (1-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente resolver a integral indefinida de cos (1 - x) , dx usando técnicas de substituição direta ou integração por partes. Isso entra no conteúdo de cálculo integral, especificamente nas técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que estamos integrando: cos (1 - x). Perceba que dentro do cosseno tem uma expressão linear em x, que é 1 - x. Isso sugere que podemos usar a técnica de substituição direta para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = 1 - x. Então, precisamos calcular o diferencial de u em relação a x:
du = -dx Rightarrow dx = -du

Passo 4

Agora, substituímos u e dx na integral original:
integral cos (1 - x) , dx = integral cos(u) cdot (-du) = -integral cos(u) , du

Passo 5

A integral de cos(u) , du é conhecida e é fácil de calcular:
integral cos(u) , du = sin(u) + C
Portanto,
-integral cos(u) , du = -sin(u) + C

Passo 6

Agora, voltamos à variável original substituindo u = 1 - x de volta:
-sin(u) + C = -sin(1 - x) + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral cos (1 - x) , dx = -sin(1 - x) + C

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