Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função f(z) para: a) f(z) = z^3 * e^(1/z);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os resíduos nos pontos singulares da função . Isso faz parte do estudo de Análise Complexa, especificamente sobre resíduos de funções complexas. Para isso, vamos precisar entender o que são resíduos, identificar os pontos singulares da função e calcular o resíduo em cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da função . Olhando para a função, vemos que ela tem um termo , que envolve . Isso indica que há uma singularidade em , pois dividir por zero não é permitido. Então, nosso único ponto singular é .

Passo 3

Agora que identificamos como ponto singular, precisamos calcular o resíduo dessa função nesse ponto. O resíduo é, basicamente, o coeficiente do termo na expansão em série de Laurent da função ao redor do ponto singular.
Vamos expandir em série de Taylor, já que . Substituindo , temos:
Multiplicando isso por , a função original fica:

Passo 4

Para encontrar o resíduo, precisamos identificar o coeficiente de nessa série. Ou seja, queremos o valor de que faz . Resolvendo essa equação:
Então, o resíduo é:

Resposta

O resíduo no ponto singular da função é .

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