Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função f(z) para: e) f(z) = cos(1/z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função . Isso está relacionado ao estudo de funções complexas, especificamente sobre singularidades, que são pontos onde a função não é analítica. Vamos precisar entender os tipos de singularidades e analisar onde a função não é bem comportada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função pode não ser analítica. Observando a expressão, vemos que no denominador temos . Então, quando , o termo se torna infinito, o que sugere que pode ser um ponto problemático.

Passo 3

Agora, vamos lembrar os tipos de singularidades:
  1. Singularidade removível: Se, ao se aproximar do ponto, a função pode ser redefinida para que seja analítica nesse ponto.
  2. Polo: Se a função tende ao infinito de uma maneira específica quando se aproxima do ponto.
  3. Singularidade essencial: Se a função exibe um comportamento altamente caótico perto do ponto, não se encaixando nos casos anteriores.

Passo 4

Vamos analisar o comportamento de perto de . Temos . Sabemos que o cosseno pode ser expandido em série de Taylor:
Aplicando :

Passo 5

Observando a série de Laurent acima, vemos que há termos com potências negativas de que vão até o infinito. Isso significa que é uma singularidade essencial, já que a série tem infinitas potências negativas e não podemos truncar para obter um polo de ordem finita.

Passo 6

Além de , não há outros pontos onde deixe de ser analítica. O cosseno é uma função inteira quando seu argumento é inteiro, e está bem definida para .

Resposta

A função possui um único ponto singular em , que é uma singularidade essencial.

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