Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para: e)
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
. Isso está relacionado ao estudo de funções complexas, especificamente sobre singularidades, que são pontos onde a função não é analítica. Vamos precisar entender os tipos de singularidades e analisar onde a função
não é bem comportada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função
pode não ser analítica. Observando a expressão, vemos que no denominador temos
. Então, quando
, o termo
se torna infinito, o que sugere que
pode ser um ponto problemático.
Passo 3
Agora, vamos lembrar os tipos de singularidades:
- Singularidade removível: Se, ao se aproximar do ponto, a função pode ser redefinida para que seja analítica nesse ponto.
- Polo: Se a função tende ao infinito de uma maneira específica quando se aproxima do ponto.
- Singularidade essencial: Se a função exibe um comportamento altamente caótico perto do ponto, não se encaixando nos casos anteriores.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento de
perto de
. Temos
. Sabemos que o cosseno pode ser expandido em série de Taylor:
Aplicando
:
Passo 5
Observando a série de Laurent acima, vemos que há termos com potências negativas de
que vão até o infinito. Isso significa que
é uma singularidade essencial, já que a série tem infinitas potências negativas e não podemos truncar para obter um polo de ordem finita.
Passo 6
Além de
, não há outros pontos onde
deixe de ser analítica. O cosseno é uma função inteira quando seu argumento é inteiro, e
está bem definida para
.
Resposta
A função
possui um único ponto singular em
, que é uma singularidade essencial.
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Justifique sua resposta.
Encontrar os pontos singulares e determinar o tipo deles da função
para: d)
;
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para: d)
.
Computar as integrais: c)
;