Computar as integrais: a)
;
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral de
ao longo do círculo unitário no plano complexo. O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo de Integrais de Contorno, especificamente usando a expansão em séries de potências e a Fórmula de Cauchy para integrais em contornos fechados. Para resolver, vamos precisar entender séries de Taylor, séries de Laurent e os resíduos das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a função
em uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para
é:
Substituindo
, temos:
Passo 3
Agora, multiplicamos essa série por
:
Passo 4
Para calcular a integral ao redor do círculo unitário, usamos a Fórmula de Cauchy para integrais de potências:
Portanto, precisamos identificar os termos na série onde o expoente de
é
.
Passo 5
Dos termos da série
, queremos encontrar
tal que
. Resolvendo:
Como
deve ser um número inteiro (pois está na série), não existe termo com
. Portanto, a integral será zero.
Resposta
A integral é igual a
.
Exercícios relacionados
Cone and planes Find the volume of the solid enclosed by the cone
between the planes
and
.
Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função
para: b)
;
Variable density A solid is bounded on the top by the paraboloid
, on the bottom by the plane
, and on the sides by the cylinder
. Find the center of mass and the moment of inertia about the
-axis if the density is
A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado. Ache o volume do sólido resultante.
em torno de
.