Computar as integrais: a)
;
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral de
ao longo do círculo unitário no plano complexo. O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo de Integrais de Contorno, especificamente usando a expansão em séries de potências e a Fórmula de Cauchy para integrais em contornos fechados. Para resolver, vamos precisar entender séries de Taylor, séries de Laurent e os resíduos das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a função
em uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para
é:
Substituindo
, temos:
Passo 3
Agora, multiplicamos essa série por
:
Passo 4
Para calcular a integral ao redor do círculo unitário, usamos a Fórmula de Cauchy para integrais de potências:
Portanto, precisamos identificar os termos na série onde o expoente de
é
.
Passo 5
Dos termos da série
, queremos encontrar
tal que
. Resolvendo:
Como
deve ser um número inteiro (pois está na série), não existe termo com
. Portanto, a integral será zero.
Resposta
A integral é igual a
.