Computar as integrais: a) integral|z|=1 z^3 sin (1z) d z;

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral de ao longo do círculo unitário no plano complexo. O conteúdo envolvido aqui é o Cálculo de Integrais de Contorno, especificamente usando a expansão em séries de potências e a Fórmula de Cauchy para integrais em contornos fechados. Para resolver, vamos precisar entender séries de Taylor, séries de Laurent e os resíduos das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a função sin w = sumn=0^infty (-1)^n w^2n+1(2n+1)! em uma série de potências. Sabemos que a série de Taylor para sin(1z) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! cdot 1z^2n+1 é:
Substituindo , temos:

Passo 3

Agora, multiplicamos essa série por z^3 sin(1z) = z^3 sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! cdot 1z^2n+1 = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! z^3 - (2n+1) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! z^2 - 2n :

Passo 4

Para calcular a integral ao redor do círculo unitário, usamos a Fórmula de Cauchy para integrais de potências:
integral|z|=1 z^k dz = 2pi i & se k = -1 0 & caso contrário á
Portanto, precisamos identificar os termos na série onde o expoente de é .

Passo 5

Dos termos da série 2 - 2n = -1 -2n = -3 n = 32 , queremos encontrar tal que . Resolvendo:
Como deve ser um número inteiro (pois está na série), não existe termo com . Portanto, a integral será zero.

Resposta

A integral é igual a .

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