Cone and planes Find the volume of the solid enclosed by the cone between the planes and .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está dentro de um cone dado pela equação e que está limitado entre os planos e . Isso envolve conceitos de geometria espacial e cálculo de integrais para encontrar volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o cone . Essa equação pode ser reescrita como em coordenadas cilíndricas, onde é a distância do ponto até o eixo . Usar coordenadas cilíndricas vai facilitar nossos cálculos porque o problema tem simetria circular.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como queremos o volume entre e , nosso varia de 1 a 2. Para cada valor de , o raio vai de 0 até , já que dentro do cone . E o ângulo vai de 0 a para cobrir toda a volta.
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral para o volume em coordenadas cilíndricas. A fórmula para o volume é:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :