Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função f(z) para: b) f(z) = e^z / (z^3 * (z - 1));

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os resíduos nos pontos singulares da função . Esse problema está dentro da matéria de Análise Complexa, mais especificamente no estudo de funções analíticas e seus resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos singulares da função e então calcular o resíduo em cada um deles utilizando as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função não é analítica, ou seja, onde ela tem pontos singulares. Observando o denominador , vemos que a função tem singularidades quando e .

Passo 3

Vamos analisar cada ponto singular separadamente. Começamos com . Nesse ponto, a função tem um polo de ordem 3, porque o denominador tem .

Passo 4

Para calcular o resíduo em um polo de ordem , usamos a fórmula:
No nosso caso, e . Então, a fórmula fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Primeiro, derivamos uma vez:
Derivando novamente:

Passo 6

Agora, substituímos na expressão obtida:

Passo 7

Agora, vamos calcular o resíduo no ponto . Nesse ponto, a função tem um polo simples (de ordem 1). Para polos simples, a fórmula do resíduo é mais direta:
Aplicando para :

Resposta

Os resíduos da função são:
  • Em :
  • Em :

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