Encontrar os resíduos nos pontos singulares da função
para: b)
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os resíduos nos pontos singulares da função
. Esse problema está dentro da matéria de Análise Complexa, mais especificamente no estudo de funções analíticas e seus resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos singulares da função e então calcular o resíduo em cada um deles utilizando as fórmulas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função
não é analítica, ou seja, onde ela tem pontos singulares. Observando o denominador
, vemos que a função tem singularidades quando
e
.
Passo 3
Vamos analisar cada ponto singular separadamente. Começamos com
. Nesse ponto, a função tem um polo de ordem 3, porque o denominador tem
.
Passo 4
Para calcular o resíduo em um polo de ordem
, usamos a fórmula:
No nosso caso,
e
. Então, a fórmula fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Primeiro, derivamos uma vez:
Derivando novamente:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão obtida:
Passo 7
Agora, vamos calcular o resíduo no ponto
. Nesse ponto, a função tem um polo simples (de ordem 1). Para polos simples, a fórmula do resíduo é mais direta:
Aplicando para
:
Resposta
Os resíduos da função
são:
- Em
: - Em
:
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between the planes
and
.
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;