É comum encontrarmos carros, com rodas travadas, e estacionados em ladeiras. Nesse caso, somente o atrito de deslisamento impede que o carro deslize. Considerando o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista igual a mu=raiz33. Mostre que a maior elevação que a ladeira pode ter para não deslisar é de 30^circ ?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um carro estacionado em uma ladeira, com as rodas travadas. O que impede o carro de deslizar para baixo é o atrito estático entre os pneus e a pista. A gente sabe que o coeficiente de atrito estático ( ) é igual a . A pergunta é: qual é o maior ângulo que essa ladeira pode ter para que o carro não deslize? A resposta que a gente espera é .
Pra resolver isso, vamos precisar entender como o atrito estático funciona e como ele se relaciona com o ângulo da ladeira. Vamos usar um pouquinho de trigonometria e física básica para chegar lá.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o atrito estático é a força que impede o movimento entre duas superfícies que estão em contato e não estão se movendo. No caso do carro na ladeira, o atrito estático está prevenindo que o carro deslize para baixo.
A força de atrito estático máxima ( Fatrito máx = mu cdot N á) que pode atuar é dada por:
á
Onde:
  • é o coeficiente de atrito estático.
  • é a força normal, que é a força perpendicular à superfície da ladeira.

Passo 3

Agora, vamos analisar as forças atuando no carro. Quando o carro está em uma ladeira inclinada de ângulo N = mg cdot cos(theta) , a gravidade ( ) pode ser decomposta em duas componentes:
  1. Paralela à ladeira: – essa é a força que tende a puxar o carro para baixo da ladeira.
  2. Perpendicular à ladeira: – essa é a força que atua como a força normal ( ).
Então, temos:

Passo 4

Para que o carro não deslize, a força de atrito estático máxima deve ser maior ou igual à componente da gravidade que puxa o carro para baixo:
Fatrito máx >= mg cdot sin(theta) á
Substituindo mu cdot N >= mg cdot sin(theta) á por mu cdot mg cdot cos(theta) >= mg cdot sin(theta) :
E substituindo por :

Passo 5

Agora, podemos simplificar essa equação. Note que mu cdot cos(theta) >= sin(theta) aparece nos dois lados, então podemos dividir ambos os lados por mu >= sin(theta)cos(theta) :
mu >= tan(theta)
Agora, vamos dividir ambos os lados por (desde que não seja zero, o que é válido aqui porque o ângulo é menor que ):
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, queremos encontrar o maior ângulo tan(theta) <= mu para o qual essa desigualdade ainda se mantém. Então, isolamos theta <= tan^-1(mu) :
theta <= tan^-1(raiz33)
Substituindo o valor de :

Passo 7

Vamos calcular tan(30^circ) = raiz33 . Sabemos que:
theta <= 30^circ
Portanto:

Resposta

A maior inclinação que a ladeira pode ter para que o carro não deslize é de .

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