A posição angular de uma partícula que se move ao longo de uma circunferência com raio de 1,52 m é dada pela expressão theta=3 t^2, onde theta é medido em radianos e t em segundos. Calcular o módulo das acelerações tangencial, normal e total da partícula no instante t=0.50 s.
Obs: aR=raiz(at^2+ac^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as acelerações tangencial, normal e total de uma partícula que se move em uma circunferência. A posição angular dela é dada por , com em radianos e em segundos. O raio da circunferência é . Para resolver, vamos usar conceitos de movimento circular, derivadas para achar as acelerações e a fórmula da aceleração total.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a velocidade angular omega = dthetadt = 6 t , que é a primeira derivada de em relação ao tempo . Vamos derivar :

Passo 3

Agora, encontramos a aceleração angular alpha = domegadt = ddt(6 t) = 6 , rad/s^2 , que é a segunda derivada de em relação a :

Passo 4

A aceleração tangencial at = alpha cdot r está relacionada à aceleração angular e ao raio at = 6 , rad/s^2 times 1,52 ,m = 9,12 , m/s^2 pela fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 5

Para achar a aceleração normal ou centrípeta ac = omega^2 cdot r , usamos a fórmula:
omega = 6 times 0,50 = 3 , rad/s
Primeiro, calculamos ac = 3^2 times 1,52 = 9 times 1,52 = 13,68 , m/s^2 no instante :
Agora, substituímos:

Passo 6

Por fim, calculamos a aceleração total aR = raizat^2 + ac^2 = raiz9,12^2 + 13,68^2 usando a relação dada:
aR = raiz83,21 + 187,03 = raiz270,24 approx 16,44 , m/s^2
Calculando:

Resposta

No instante , as acelerações são:
  • Aceleração tangencial
  • Aceleração normal
  • Aceleração total

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