A posição angular de uma partícula que se move ao longo de uma circunferência com raio de 1,52
é dada pela expressão
, onde
é medido em radianos e
em segundos. Calcular o módulo das acelerações tangencial, normal e total da partícula no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular as acelerações tangencial, normal e total de uma partícula que se move em uma circunferência. A posição angular dela é dada por
, com
em radianos e
em segundos. O raio da circunferência é
. Para resolver, vamos usar conceitos de movimento circular, derivadas para achar as acelerações e a fórmula da aceleração total.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade angular
, que é a primeira derivada de
em relação ao tempo
. Vamos derivar
:
Passo 3
Agora, encontramos a aceleração angular
, que é a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
A aceleração tangencial
está relacionada à aceleração angular e ao raio
pela fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para achar a aceleração normal ou centrípeta
, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos
no instante
:
Agora, substituímos:
Passo 6
Por fim, calculamos a aceleração total
usando a relação dada:
Calculando:
Resposta
No instante
, as acelerações são:
- Aceleração tangencial
- Aceleração normal
- Aceleração total