Uma partícula descreve uma circunferência de acordo com a lei , onde é medido em radianos e em segundos. Calcular a velocidade angular e a aceleração angular da partícula para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move em círculo seguindo a equação , onde está em radianos e em segundos. Nosso objetivo é calcular a velocidade angular ( ) e a aceleração angular ( ) dessa partícula quando segundos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular ( ). A velocidade angular é basicamente quão rápido o ângulo está mudando com o tempo. Matematicamente, isso é a primeira derivada de em relação a .
Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular ( ). A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular com o tempo, ou seja, é a segunda derivada de em relação a ou a primeira derivada de em relação a .
Derivando:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então,

Passo 4

Agora é só substituir segundos nas equações que encontramos para e .
Para a velocidade angular:
Para a aceleração angular:
²

Resposta

No instante segundos, a velocidade angular da partícula é de 26 rad/s e a aceleração angular é de 6 rad/s².

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