Uma partícula descreve uma circunferência de acordo com a lei theta=3 t^2+2 t, onde theta é medido em radianos e t em segundos. Calcular a velocidade angular e a aceleração angular da partícula para t=4 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move em círculo seguindo a equação theta = 3 t^2 + 2 t, onde theta está em radianos e t em segundos. Nosso objetivo é calcular a velocidade angular ( omega) e a aceleração angular ( alpha) dessa partícula quando t = 4 segundos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular ( omega). A velocidade angular é basicamente quão rápido o ângulo está mudando com o tempo. Matematicamente, isso é a primeira derivada de theta em relação a t.
omega(t) = dthetadt = ddt(3 t^2 + 2 t)
Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de 3 t^2 é 6 t.
  • A derivada de 2 t é 2.
Então,
omega(t) = 6 t + 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular ( alpha). A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular com o tempo, ou seja, é a segunda derivada de theta em relação a t ou a primeira derivada de omega em relação a t.
alpha(t) = domegadt = ddt(6 t + 2)
Derivando:
  • A derivada de 6 t é 6.
  • A derivada de 2 é 0.
Então,
alpha(t) = 6

Passo 4

Agora é só substituir t = 4 segundos nas equações que encontramos para omega(t) e alpha(t).
Para a velocidade angular:
omega(4) = 6 times 4 + 2 = 24 + 2 = 26 , rad/s
Para a aceleração angular:
alpha(4) = 6 , rad/s² ²

Resposta

No instante t = 4 segundos, a velocidade angular da partícula é de 26 rad/s e a aceleração angular é de 6 rad/s².

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