Uma partícula descreve uma circunferência de acordo com a lei
, onde
é medido em radianos e
em segundos. Calcular a velocidade angular e a aceleração angular da partícula para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move em círculo seguindo a equação
, onde
está em radianos e
em segundos. Nosso objetivo é calcular a velocidade angular (
) e a aceleração angular (
) dessa partícula quando
segundos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular (
). A velocidade angular é basicamente quão rápido o ângulo está mudando com o tempo. Matematicamente, isso é a primeira derivada de
em relação a
.
Vamos derivar termo por termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração angular (
). A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular com o tempo, ou seja, é a segunda derivada de
em relação a
ou a primeira derivada de
em relação a
.
Derivando:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Passo 4
Agora é só substituir
segundos nas equações que encontramos para
e
.
Para a velocidade angular:
Para a aceleração angular:
Resposta
No instante
segundos, a velocidade angular da partícula é de 26 rad/s e a aceleração angular é de 6 rad/s².