Uma partícula descreve uma circunferência de acordo com a lei
, onde
é medido em radianos e
em segundos. Calcular a velocidade angular e a aceleração angular da partícula para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se move em círculo seguindo a equação
, onde
está em radianos e
em segundos. Nosso objetivo é calcular a velocidade angular (
) e a aceleração angular (
) dessa partícula quando
segundos. Para resolver isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular (
). A velocidade angular é basicamente quão rápido o ângulo está mudando com o tempo. Matematicamente, isso é a primeira derivada de
em relação a
.
Vamos derivar termo por termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a aceleração angular (
). A aceleração angular é a taxa de variação da velocidade angular com o tempo, ou seja, é a segunda derivada de
em relação a
ou a primeira derivada de
em relação a
.
Derivando:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então,
Passo 4
Agora é só substituir
segundos nas equações que encontramos para
e
.
Para a velocidade angular:
Para a aceleração angular:
Resposta
No instante
segundos, a velocidade angular da partícula é de 26 rad/s e a aceleração angular é de 6 rad/s².
Exercícios relacionados
A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por
com
em metros e t em segundos. Determine: para
, a) o vetor posição
, o vetor velocidade
, o vetor aceleração
da partícula; b) a velocidade da partícula num
tempo t qualquer; e) a velocidade média para o intervalo de tempo .
tempo t qualquer; e) a velocidade média para o intervalo de tempo
Um projétil é disparado do solo com velocidade de
, sob um ângulo de
com a horizontal. Considerando-se que o solo é plano e horizontal, que a aceleração da gravidade local é
. Determine: (a) O alcance do projétil; (b) O tempo para que o projétil atinja a altura máxima;
A altura máxima em relação ao solo; (d) A que altura o projétil encontra-se em relação ao solo após
A velocidade e a aceleração do projétil, na altura máxima.
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, com uma velocidade inicial de módulo igual a
fazendo um ângulo de
acima da horizontal. Determine: a) o vetor velocidade
e posição
para qualquer instante
) os módulos das componentes horizontal e vertical da velocidade para
) os módulos das componentes horizontal e vertical do seu deslocamento a partir do local da catapulta em
.
É comum encontrarmos carros, com rodas travadas, e estacionados em ladeiras. Nesse caso, somente o atrito de deslisamento impede que o carro deslize. Considerando o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a pista igual a
. Mostre que a maior elevação que a ladeira pode ter para não deslisar é de
?