Uma pedra é atirada por uma catapulta no tempo t=0, com uma velocidade inicial de módulo igual a 20,0 m / s fazendo um ângulo de 40,0^circ acima da horizontal. Determine: a) o vetor velocidade v(t) e posição r(t) para qualquer instante t b ) os módulos das componentes horizontal e vertical da velocidade para t=2 s c ) os módulos das componentes horizontal e vertical do seu deslocamento a partir do local da catapulta em t=1 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento projetado! A gente tem uma pedra lançada com uma velocidade inicial de 20,0 , m/s fazendo um ângulo de 40,0^circ acima da horizontal. Vamos precisar usar os conceitos de decomposição vetorial da velocidade, equações do movimento uniformemente variado (para a vertical) e movimento uniforme (para a horizontal).

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial v0 nas suas componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y). Isso é feito usando funções trigonométricas básicas:
v0x = v0 cdot cos(theta)
v0y = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0 = 20,0 , m/s
  • theta = 40,0^circ

Passo 3

Calculando as componentes:
v0x = 20,0 cdot cos(40,0^circ) approx 20,0 cdot 0,7660 approx 15,32 , m/s
v0y = 20,0 cdot sin(40,0^circ) approx 20,0 cdot 0,6428 approx 12,86 , m/s

Passo 4

Agora, vamos determinar o vetor velocidade v(t). Na direção horizontal, não há aceleração (movimento uniforme), então:
vx(t) = v0x = 15,32 , m/s
Já na direção vertical, a aceleração é a da gravidade, g = 9,81 , m/s^2, mas ela atua para baixo, então:
vy(t) = v0y - g cdot t = 12,86 - 9,81 cdot t
Portanto, o vetor velocidade é:
v(t) = (15,32 , m/s) i + (12,86 - 9,81 cdot t) j

Passo 5

Agora, vamos encontrar a posição r(t). Na horizontal, como o movimento é uniforme:
x(t) = v0x cdot t = 15,32 cdot t
Na vertical, usamos a equação do movimento uniformemente variado:
y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2 = 12,86 cdot t - 4,905 cdot t^2
Então, o vetor posição é:
r(t) = (15,32 cdot t) i + (12,86 cdot t - 4,905 cdot t^2) j

Resposta

a) O vetor velocidade é v(t) = (15,32 , m/s), i + (12,86 - 9,81, t), j e o vetor posição é r(t) = (15,32, t), i + (12,86, t - 4,905, t^2), j para qualquer instante t.

Exercícios relacionados