Um corpo, inicialmente em repouso ( theta=0 e omega=0, para t=0 ), é acelerado numa trajetória circular de raio 1,3 m, segundo a equação alpha=120 t^2-48 t+16. Determinar a posição angular e a velocidade angular do
corpo como funções do tempo, e as componentes targencial e centrípeta de sua aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um corpo que está parado no início (θ=0 e ω=0 quando t=0) e começa a se mover em uma trajetória circular com raio de 1,3 m. A aceleração angular desse corpo é dada pela equação α = 120 t² - 48 t + 16. Nosso objetivo é encontrar:
  1. A posição angular θ(t)
  2. A velocidade angular ω(t)
  3. As componentes da aceleração: tangencial e centrípeta.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional. Precisamos integrar a aceleração angular para encontrar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para achar a posição angular. Para as componentes da aceleração, vamos usar as fórmulas da aceleração tangencial e centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular ω(t). Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
alpha(t) = dωdt
Para encontrar ω(t), vamos integrar a aceleração angular em relação ao tempo:
ω(t) = integral alpha(t) , dt + ω0
Onde ω₀ é a velocidade angular inicial, que é zero. Então:
ω(t) = integral (120 t² - 48 t + 16) , dt ²
Integrando termo a termo:
ω(t) = 120 cdot t^33 - 48 cdot t^22 + 16 t + C
Simplificando:
ω(t) = 40 t^3 - 24 t^2 + 16 t
Como ω₀ = 0, a constante C = 0. Portanto:
ω(t) = 40 t^3 - 24 t^2 + 16 t

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição angular θ(t). Sabemos que a velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo:
ω(t) = dθdt
Para encontrar θ(t), vamos integrar a velocidade angular em relação ao tempo:
θ(t) = integral ω(t) , dt + θ0
Onde θ₀ é a posição angular inicial, que é zero. Então:
θ(t) = integral (40 t^3 - 24 t^2 + 16 t) , dt
Integrando termo a termo:
θ(t) = 40 cdot t^44 - 24 cdot t^33 + 16 cdot t^22 + C
Simplificando:
θ(t) = 10 t^4 - 8 t^3 + 8 t^2
Como θ₀ = 0, a constante C = 0. Portanto:
θ(t) = 10 t^4 - 8 t^3 + 8 t^2

Passo 4

Agora, vamos determinar as componentes da aceleração: tangencial (a_t) e centrípeta (a_c).
A aceleração tangencial está relacionada à variação da velocidade angular e é dada por:
at = r cdot alpha(t)
Onde r é o raio da trajetória circular, que é 1,3 m. Já a aceleração centrípeta está relacionada à velocidade angular e é dada por:
ac = r cdot ω(t)^2
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 5

Primeiro, a aceleração tangencial:
at = r cdot alpha(t) = 1,3 cdot (120 t^2 - 48 t + 16)
Distribuindo:
at = 1,3 times 120 t^2 - 1,3 times 48 t + 1,3 times 16
at = 156 t^2 - 62,4 t + 20,8 , m/s^2

Passo 6

Agora, a aceleração centrípeta:
ac = r cdot ω(t)^2 = 1,3 cdot (40 t^3 - 24 t^2 + 16 t)^2
Primeiro, vamos expandir o termo dentro do quadrado:
(40 t^3 - 24 t^2 + 16 t)^2 = (40 t^3)^2 + (-24 t^2)^2 + (16 t)^2 + 2 cdot 40 t^3 cdot (-24 t^2) + 2 cdot 40 t^3 cdot 16 t + 2 cdot (-24 t^2) cdot 16 t
= 1600 t^6 + 576 t^4 + 256 t^2 - 1920 t^5 + 1280 t^4 - 768 t^3
= 1600 t^6 - 1920 t^5 + (576 + 1280) t^4 - 768 t^3 + 256 t^2
= 1600 t^6 - 1920 t^5 + 1856 t^4 - 768 t^3 + 256 t^2
Agora, multiplicamos pelo raio r = 1,3:
ac = 1,3 times (1600 t^6 - 1920 t^5 + 1856 t^4 - 768 t^3 + 256 t^2)
= 2080 t^6 - 2496 t^5 + 2412,8 t^4 - 998,4 t^3 + 332,8 t^2 , m/s^2

Resposta

As funções solicitadas são:
θ(t) = 10 t^4 - 8 t^3 + 8 t^2 , rad
ω(t) = 40 t^3 - 24 t^2 + 16 t , rad/s
As componentes da aceleração são:
at = 156 t^2 - 62,4 t + 20,8 , m/s^2
ac = 2080 t^6 - 2496 t^5 + 2412,8 t^4 - 998,4 t^3 + 332,8 t^2 , m/s^2

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