Um corpo, inicialmente em repouso (
e
, para
), é acelerado numa trajetória circular de raio
, segundo a equação
. Determinar a posição angular e a velocidade angular do
corpo como funções do tempo, e as componentes targencial e centrípeta de sua aceleração.
corpo como funções do tempo, e as componentes targencial e centrípeta de sua aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um corpo que está parado no início (
θ=0
e ω=0
quando t=0
) e começa a se mover em uma trajetória circular com raio de 1,3 m
. A aceleração angular desse corpo é dada pela equação α = 120 t² - 48 t + 16
. Nosso objetivo é encontrar:- A posição angular
θ(t)
- A velocidade angular
ω(t)
- As componentes da aceleração: tangencial e centrípeta.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional. Precisamos integrar a aceleração angular para encontrar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para achar a posição angular. Para as componentes da aceleração, vamos usar as fórmulas da aceleração tangencial e centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular
ω(t)
. Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:Para encontrar
ω(t)
, vamos integrar a aceleração angular em relação ao tempo:Onde
ω₀
é a velocidade angular inicial, que é zero. Então:Integrando termo a termo:
Simplificando:
Como
ω₀ = 0
, a constante C = 0
. Portanto:Passo 3
Agora, vamos encontrar a posição angular
θ(t)
. Sabemos que a velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo:Para encontrar
θ(t)
, vamos integrar a velocidade angular em relação ao tempo:Onde
θ₀
é a posição angular inicial, que é zero. Então:Integrando termo a termo:
Simplificando:
Como
θ₀ = 0
, a constante C = 0
. Portanto:Passo 4
Agora, vamos determinar as componentes da aceleração: tangencial (
a_t
) e centrípeta (a_c
).A aceleração tangencial está relacionada à variação da velocidade angular e é dada por:
Onde
r
é o raio da trajetória circular, que é 1,3 m
. Já a aceleração centrípeta está relacionada à velocidade angular e é dada por:Vamos calcular cada uma delas.
Passo 5
Primeiro, a aceleração tangencial:
Distribuindo:
Passo 6
Agora, a aceleração centrípeta:
Primeiro, vamos expandir o termo dentro do quadrado:
Agora, multiplicamos pelo raio
r = 1,3
:Resposta
As funções solicitadas são:
As componentes da aceleração são: