Um corpo, inicialmente em repouso ( e , para ), é acelerado numa trajetória circular de raio , segundo a equação . Determinar a posição angular e a velocidade angular do
corpo como funções do tempo, e as componentes targencial e centrípeta de sua aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um corpo que está parado no início (θ=0 e ω=0 quando t=0) e começa a se mover em uma trajetória circular com raio de 1,3 m. A aceleração angular desse corpo é dada pela equação α = 120 t² - 48 t + 16. Nosso objetivo é encontrar:
  1. A posição angular θ(t)
  2. A velocidade angular ω(t)
  3. As componentes da aceleração: tangencial e centrípeta.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática rotacional. Precisamos integrar a aceleração angular para encontrar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para achar a posição angular. Para as componentes da aceleração, vamos usar as fórmulas da aceleração tangencial e centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade angular ω(t). Sabemos que a aceleração angular é a derivada da velocidade angular em relação ao tempo:
Para encontrar ω(t), vamos integrar a aceleração angular em relação ao tempo:
Onde ω₀ é a velocidade angular inicial, que é zero. Então:
²
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Como ω₀ = 0, a constante C = 0. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a posição angular θ(t). Sabemos que a velocidade angular é a derivada da posição angular em relação ao tempo:
Para encontrar θ(t), vamos integrar a velocidade angular em relação ao tempo:
Onde θ₀ é a posição angular inicial, que é zero. Então:
Integrando termo a termo:
Simplificando:
Como θ₀ = 0, a constante C = 0. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos determinar as componentes da aceleração: tangencial (a_t) e centrípeta (a_c).
A aceleração tangencial está relacionada à variação da velocidade angular e é dada por:
Onde r é o raio da trajetória circular, que é 1,3 m. Já a aceleração centrípeta está relacionada à velocidade angular e é dada por:
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 5

Primeiro, a aceleração tangencial:
Distribuindo:

Passo 6

Agora, a aceleração centrípeta:
Primeiro, vamos expandir o termo dentro do quadrado:
Agora, multiplicamos pelo raio r = 1,3:

Resposta

As funções solicitadas são:
As componentes da aceleração são:

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