É muito comum tratar a madeira de eucalipto para ser usada como poste de telefone e de energia elétrica na zona rural. O tratamento consiste em usar um produto químico que penetre na madeira até uma profundidade de 10 cm . Isto significa que agua e insetos, como o cupim não conseguem penetrar na madeira e, consequentemente, aumentando a vida útil do poste de madeira. Para que o produto possa penetrar até a profundidade de 10 cm é necessário colocar o poste dentro de um grande forno com temperatura e pressão controlada. A ideia é retirar a agua de dentro do eucalipto, através do aquecimento, para que o produto químico consiga penetrar na madeira. Considere o caso de um poste de 30 cm de diâmetro, inicialmente a temperatura de que é colocado dentro de um forno pressurizado com temperatura de camada limite igual a e coeficiente de transferência de calor de . O fabricante diz que a penetração de 10 cm do produto químico na madeira se consegue quando a temperatura da madeira, a esta profundidade, atinge . Você, engenheiro e proprietário da empresa de produção de postes, precisa determinar quanto tempo a madeira necessita ficar dentro do forno pressurizado. Para ter uma estimativa do tempo o engenheiro vai admitir que o número de Fourier seja maior que 0,2. Dado: condutividade térmica e o coeficiente de difusão da madeira são respectivamente e .

Passo 1

Beleza, então vamos resumir o que você precisa fazer aqui. A gente está tratando postes de madeira de eucalipto para usá-los em áreas rurais, protegendo-os contra água e insetos como o cupim. O processo envolve colocar o poste num forno pressurizado para que um produto químico penetre até 10 cm de profundidade. Nosso objetivo é descobrir quanto tempo o poste precisa ficar nesse forno para que a temperatura na profundidade de 10 cm atinja 100 °C. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente o número de Fourier, que ajuda a estimar o tempo necessário para a difusão do calor na madeira.

Passo 2

Primeiro, vamos levar em consideração os dados que temos:
  • Diâmetro do poste: 30 cm
  • Temperatura inicial da madeira: 25 °C
  • Temperatura do forno (camada limite): 380 °C
  • Coeficiente de transferência de calor ( ): 140 W/m²·K
  • Condutividade térmica da madeira ( ): 0,20 W/m·K
  • Coeficiente de difusão térmica ( ): m²/s
  • Profundidade desejada de penetração: 10 cm (0,10 m)
  • Temperatura alvo na profundidade: 100 °C
  • Número de Fourier adotado:

Passo 3

Vamos entender o que é o número de Fourier ( ). Ele é uma dimensão adimensional usado em transferência de calor para caracterizar a relação entre difusão de calor e o tempo. A fórmula é:
Onde:
  • é o coeficiente de difusão térmica,
  • é o tempo,
  • é a profundidade de interesse.
Como queremos que , vamos usar isso para encontrar uma estimativa do tempo necessário.

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula do número de Fourier para resolver para o tempo ( ):
Substituindo os valores conhecidos:
  • m
  • m²/s

Passo 5

Calculando o tempo:
Primeiro, calcule :
²
Agora, multiplique pelo número de Fourier:
Finalmente, divida pelo coeficiente de difusão térmica:

Passo 6

Convertendo os segundos para horas para facilitar a interpretação:

Resposta

O poste de madeira precisa ficar aproximadamente 5 horas dentro do forno pressurizado para que a temperatura na profundidade de 10 cm atinja 100 °C.

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