Uma esfera de
de raio e feita de uma liga de alumínio, com condutividade térmica
, densidade
e calor específico
, tem inicialmente uma temperatura de
. Ela é colocada num fluido a uma temperatura de
e troca calor com o mesmo tendo um coeficiente de transferência de calor de
. Determine a temperatura do centro da esfera após 58 s de ter sido imersa no fluido.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos uma esfera de alumínio com raio de 5,0 cm inicialmente a 327°C, que é colocada em um fluido a 200°C. Queremos descobrir qual será a temperatura no centro da esfera após 58 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução de calor em sólidos e troca térmica por convecção na superfície.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se podemos aplicar o método de capacidade térmica simplificado, conhecido como método de capacidade térmica lumped. Para isso, calculamos o número de Biot (Bi), que nos ajuda a determinar se a temperatura dentro do objeto pode ser considerada uniforme.
A fórmula do número de Biot é:
onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção, -
é o comprimento característico para uma esfera, -
é a condutividade térmica da liga de alumínio.
Calculando
:
Agora, calculamos Bi:
Como
, podemos usar o método de capacidade térmica lumped.
Passo 3
Com o número de Biot pequeno, assumimos que a temperatura dentro da esfera é praticamente uniforme durante o processo de resfriamento. Isso simplifica bastante a análise, pois não precisamos considerar variações de temperatura dentro do volume da esfera, apenas na sua superfície.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do método de capacidade térmica lumped para calcular a temperatura após um tempo
:
onde:
-
é a temperatura do fluido, -
é a temperatura inicial da esfera, -
é a densidade da liga de alumínio, -
é o calor específico, -
é o raio da esfera, -
, -
é o tempo.
Passo 5
Vamos calcular o expoente da expressão:
Agora, calculamos a temperatura:
Resposta
A temperatura do centro da esfera após 58 segundos é aproximadamente 324°C.