Uma esfera de de raio e feita de uma liga de alumínio, com condutividade térmica , densidade e calor específico , tem inicialmente uma temperatura de . Ela é colocada num fluido a uma temperatura de e troca calor com o mesmo tendo um coeficiente de transferência de calor de . Determine a temperatura do centro da esfera após 58 s de ter sido imersa no fluido.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma esfera de alumínio com raio de 5,0 cm inicialmente a 327°C, que é colocada em um fluido a 200°C. Queremos descobrir qual será a temperatura no centro da esfera após 58 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução de calor em sólidos e troca térmica por convecção na superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se podemos aplicar o método de capacidade térmica simplificado, conhecido como método de capacidade térmica lumped. Para isso, calculamos o número de Biot (Bi), que nos ajuda a determinar se a temperatura dentro do objeto pode ser considerada uniforme.
A fórmula do número de Biot é:
onde:
  • é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • é o comprimento característico para uma esfera,
  • é a condutividade térmica da liga de alumínio.
Calculando :
Agora, calculamos Bi:
Como , podemos usar o método de capacidade térmica lumped.

Passo 3

Com o número de Biot pequeno, assumimos que a temperatura dentro da esfera é praticamente uniforme durante o processo de resfriamento. Isso simplifica bastante a análise, pois não precisamos considerar variações de temperatura dentro do volume da esfera, apenas na sua superfície.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de capacidade térmica lumped para calcular a temperatura após um tempo :
onde:
  • é a temperatura do fluido,
  • é a temperatura inicial da esfera,
  • é a densidade da liga de alumínio,
  • é o calor específico,
  • é o raio da esfera,
  • ,
  • é o tempo.

Passo 5

Vamos calcular o expoente da expressão:
Agora, calculamos a temperatura:

Resposta

A temperatura do centro da esfera após 58 segundos é aproximadamente 324°C.

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