Uma esfera de 5,0 cm de raio e feita de uma liga de alumínio, com condutividade térmica k=186 W /(m K), densidade rho=2770 kg / m^3 e calor específico c=1042 J /(kg cdot K), tem inicialmente uma temperatura de 327^circ C. Ela é colocada num fluido a uma temperatura de 200^circ C e troca calor com o mesmo tendo um coeficiente de transferência de calor de 20 W / m^2 K. Determine a temperatura do centro da esfera após 58 s de ter sido imersa no fluido.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos uma esfera de alumínio com raio de 5,0 cm inicialmente a 327°C, que é colocada em um fluido a 200°C. Queremos descobrir qual será a temperatura no centro da esfera após 58 segundos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de transferência de calor, especificamente condução de calor em sólidos e troca térmica por convecção na superfície.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se podemos aplicar o método de capacidade térmica simplificado, conhecido como método de capacidade térmica lumped. Para isso, calculamos o número de Biot (Bi), que nos ajuda a determinar se a temperatura dentro do objeto pode ser considerada uniforme.
A fórmula do número de Biot é:
Bi = h cdot Lck
onde:
  • Lc = 0,05 , m3 approx 0,0167 , m é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • Bi = 20 times 0,0167186 approx 0,0018 é o comprimento característico para uma esfera,
  • é a condutividade térmica da liga de alumínio.
Calculando :
Agora, calculamos Bi:
Como , podemos usar o método de capacidade térmica lumped.

Passo 3

Com o número de Biot pequeno, assumimos que a temperatura dentro da esfera é praticamente uniforme durante o processo de resfriamento. Isso simplifica bastante a análise, pois não precisamos considerar variações de temperatura dentro do volume da esfera, apenas na sua superfície.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do método de capacidade térmica lumped para calcular a temperatura após um tempo T(t) = Tinfty + (Ti - Tinfty) cdot e^-3hrho r c t :
onde:
  • é a temperatura do fluido,
  • é a temperatura inicial da esfera,
  • é a densidade da liga de alumínio,
  • é o calor específico,
  • é o raio da esfera,
  • ,
  • é o tempo.

Passo 5

Vamos calcular o expoente da expressão:
3hrho r c t = 3 times 202770 times 0,05 times 1042 times 58 approx 60144317 times 58 approx 0,0241
Agora, calculamos a temperatura:
T(58) = 200 + 127 times e^-0,0241 approx 200 + 127 times 0,9762 approx 200 + 123,77 approx 323,77°C

Resposta

A temperatura do centro da esfera após 58 segundos é aproximadamente 324°C.

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