O comutador
de duas matrizes
e
é definido como
, e o anticomutador
destas como
. Demostre as seguintes identidades:
(identidade de Jacobi).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente demonstrar uma identidade envolvendo comutadores de matrizes, chamada de identidade de Jacobi. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre comutadores de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é comutador e anticomutador, e como manipular essas operações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são comutador e anticomutador. O comutador de duas matrizes
e
é definido como:
Isso mede o quanto as matrizes não comutam, ou seja, se
é diferente de
.
Já o anticomutador é:
Isso soma os produtos das matrizes nas duas ordens possíveis.
Passo 3
Agora, a identidade que queremos provar é:
Isso significa que se a gente somar os comutadores aninhados dessas três matrizes, o resultado deve ser a matriz zero.
Passo 4
Vamos começar expandindo cada um dos termos. Primeiro, vamos expandir
:
E sabemos que:
Então:
Passo 5
Fazendo o mesmo para
:
E:
Então:
Passo 6
E agora para
:
Sabendo que:
Então:
Passo 7
Agora, vamos somar os três resultados que obtivemos:
Vamos simplificar isso agrupando termos semelhantes:
-
e se cancelam. -
e se cancelam. -
e se cancelam. -
e se cancelam. -
e se cancelam. -
e se cancelam.
Passo 8
Após esse cancelamento, não sobra nada além de zero:
Resposta
Demonstramos que
, confirmando a identidade de Jacobi.