O comutador [A, B] de duas matrizes A e B é definido como [A, B]=A B-B A, e o anticomutador A, B destas como A, B=A B+B A. Demostre as seguintes identidades: [A,[B, C]]+[B,[C, A]]+[C,[A, B]]=0 (identidade de Jacobi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente demonstrar uma identidade envolvendo comutadores de matrizes, chamada de identidade de Jacobi. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre comutadores de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é comutador e anticomutador, e como manipular essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são comutador e anticomutador. O comutador de duas matrizes [A, B] = AB - BA e A, B = AB + BA é definido como:
Isso mede o quanto as matrizes não comutam, ou seja, se é diferente de .
Já o anticomutador é:
Isso soma os produtos das matrizes nas duas ordens possíveis.

Passo 3

Agora, a identidade que queremos provar é:
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0
Isso significa que se a gente somar os comutadores aninhados dessas três matrizes, o resultado deve ser a matriz zero.

Passo 4

Vamos começar expandindo cada um dos termos. Primeiro, vamos expandir [A, [B, C]] = A[B, C] - [B, C]A :
[B, C] = BC - CB
E sabemos que:
[A, [B, C]] = A(BC - CB) - (BC - CB)A = ABC - ACB - BCA + CBA
Então:

Passo 5

Fazendo o mesmo para [B, [C, A]] = B[C, A] - [C, A]B :
[C, A] = CA - AC
E:
[B, [C, A]] = B(CA - AC) - (CA - AC)B = BCA - BAC - CAB + ACB
Então:

Passo 6

E agora para [C, [A, B]] = C[A, B] - [A, B]C :
[A, B] = AB - BA
Sabendo que:
[C, [A, B]] = C(AB - BA) - (AB - BA)C = CAB - CBA - ABC + BAC
Então:

Passo 7

Agora, vamos somar os três resultados que obtivemos:
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = (ABC - ACB - BCA + CBA) + (BCA - BAC - CAB + ACB) + (CAB - CBA - ABC + BAC)
Vamos simplificar isso agrupando termos semelhantes:
  • e se cancelam.
  • e se cancelam.
  • e se cancelam.
  • e se cancelam.
  • e se cancelam.
  • e se cancelam.

Passo 8

Após esse cancelamento, não sobra nada além de zero:
[A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0

Resposta

Demonstramos que , confirmando a identidade de Jacobi.

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