O comutador de duas matrizes e é definido como , e o anticomutador destas como . Demostre as seguintes identidades: (identidade de Jacobi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente demonstrar uma identidade envolvendo comutadores de matrizes, chamada de identidade de Jacobi. O conteúdo aqui é de álgebra linear, especificamente sobre comutadores de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é comutador e anticomutador, e como manipular essas operações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são comutador e anticomutador. O comutador de duas matrizes e é definido como:
Isso mede o quanto as matrizes não comutam, ou seja, se é diferente de .
Já o anticomutador é:
Isso soma os produtos das matrizes nas duas ordens possíveis.

Passo 3

Agora, a identidade que queremos provar é:
Isso significa que se a gente somar os comutadores aninhados dessas três matrizes, o resultado deve ser a matriz zero.

Passo 4

Vamos começar expandindo cada um dos termos. Primeiro, vamos expandir :
E sabemos que:
Então:

Passo 5

Fazendo o mesmo para :
E:
Então:

Passo 6

E agora para :
Sabendo que:
Então:

Passo 7

Agora, vamos somar os três resultados que obtivemos:
Vamos simplificar isso agrupando termos semelhantes:
  • e se cancelam.
  • e se cancelam.
  • e se cancelam.
  • e se cancelam.
  • e se cancelam.
  • e se cancelam.

Passo 8

Após esse cancelamento, não sobra nada além de zero:

Resposta

Demonstramos que , confirmando a identidade de Jacobi.

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