A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, onde x está em metros e tem segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s , (b) 2 s , © 4 s . (d) Qual é o deslocamento do objeto entre
? (e) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de
a
? (f) Qual é a aceleração média para o intervalo de tempo de
a
? (g) Qual é a velocidade instantânea para o tempo de
? (h) Qual é a aceleração instantânea para tempo de
?
a)
; b)
; c)
; d)
; e)
; f) am=4 m/s2;g) v(3)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um objeto que se move ao longo de um eixo
com a posição dada pela função
, onde
está em metros e
em segundos. Vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento. Para resolver os itens pedidos, vamos precisar:
- Função posição: Já temos
. - Função velocidade: É a derivada da posição em relação ao tempo,
. - Função aceleração: É a derivada da velocidade em relação ao tempo,
.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
a) Determinar a posição do objeto para
s.
Para encontrar a posição no tempo
segundo, basta substituir
na função posição:
Passo 3
b) Determinar a posição do objeto para
s.
Substituindo
na função posição:
Passo 4
c) Determinar a posição do objeto para
s.
Substituindo
na função posição:
Passo 5
d) Determinar o deslocamento do objeto entre
s e
s.
O deslocamento é dado pela diferença entre a posição final e a inicial:
Passo 6
e) Determinar a velocidade média para o intervalo de tempo de
s a
s.
A velocidade média é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:
Passo 7
f) Determinar a aceleração média para o intervalo de tempo de
s a
s.
Primeiro, encontramos a velocidade em
s e em
s.
A função velocidade é a derivada da posição:
Calculando
e
:
Agora, a aceleração média:
Passo 8
g) Determinar a velocidade instantânea para
s.
Já calculamos anteriormente
, que é a velocidade instantânea nesse instante.
Passo 9
h) Determinar a aceleração instantânea para
s.
A aceleração é a derivada da velocidade:
Substituindo
:
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)