A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x=3 t-4 t 2+t 3, onde x está em metros e tem segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s , (b) 2 s , © 4 s . (d) Qual é o deslocamento do objeto entre t=1 e t=4 s ? (e) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de t=2 s a t=4 s ? (f) Qual é a aceleração média para o intervalo de tempo de t=1 s a t=3 s ? (g) Qual é a velocidade instantânea para o tempo de t=3 s ? (h) Qual é a aceleração instantânea para tempo de t=1 s ?
a) x(1)=0 m; b) x(2)=-2 m; c) x(4)=12 m; d) x(4)-x(1)=12 m; e) v m=7 m / s; f) am=4 m/s2;g) v(3) =6 m / s ; h) a(1)=-2 m / s 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um objeto que se move ao longo de um eixo com a posição dada pela função , onde está em metros e em segundos. Vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento. Para resolver os itens pedidos, vamos precisar:
  1. Função posição: Já temos .
  2. Função velocidade: É a derivada da posição em relação ao tempo, .
  3. Função aceleração: É a derivada da velocidade em relação ao tempo, .
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

a) Determinar a posição do objeto para x(1) = 3(1) - 4(1)^2 + (1)^3 = 3 - 4 + 1 = 0 , m s.
Para encontrar a posição no tempo segundo, basta substituir na função posição:

Passo 3

b) Determinar a posição do objeto para x(2) = 3(2) - 4(2)^2 + (2)^3 = 6 - 16 + 8 = -2 , m s.
Substituindo na função posição:

Passo 4

c) Determinar a posição do objeto para x(4) = 3(4) - 4(4)^2 + (4)^3 = 12 - 64 + 64 = 12 , m s.
Substituindo na função posição:

Passo 5

d) Determinar o deslocamento do objeto entre De s e s.
O deslocamento é dado pela diferença entre a posição final e a inicial:

Passo 6

e) Determinar a velocidade média para o intervalo de tempo de vmédia = x(4) - x(2)4 - 2 = 12 , m - (-2) , m2 , s = 14 , m2 , s = 7 , m/s s a s.
A velocidade média é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo:
é

Passo 7

f) Determinar a aceleração média para o intervalo de tempo de v(t) = dxdt = 3 - 8t + 3t^2 s a v(1) = 3 - 8(1) + 3(1)^2 = 3 - 8 + 3 = -2 , m/s s.
Primeiro, encontramos a velocidade em v(3) = 3 - 8(3) + 3(3)^2 = 3 - 24 + 27 = 6 , m/s s e em amédia = v(3) - v(1)3 - 1 = 6 , m/s - (-2) , m/s2 , s = 8 , m/s2 , s = 4 , m/s^2 s.
A função velocidade é a derivada da posição:
Calculando e :
Agora, a aceleração média:
é

Passo 8

g) Determinar a velocidade instantânea para s.
Já calculamos anteriormente , que é a velocidade instantânea nesse instante.

Passo 9

h) Determinar a aceleração instantânea para a(t) = dvdt = -8 + 6t s.
A aceleração é a derivada da velocidade:
a(1) = -8 + 6(1) = -8 + 6 = -2 , m/s^2
Substituindo :

Resposta

a)
b)
c)
d)
e) é
f) é
g)
h)

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