As matrizes de spin de Pauli são definidas como:
onde
é a unidade imaginária. Prove que:
, onde
é o delta de Kronecker definido atraves da regra
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que o anticomutador das matrizes de Pauli, representado por
, é igual a
. Estamos lidando com matrizes de spin, uma parte importante da mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anticomutador, conhecer bem as matrizes de Pauli e usar um pouco de álgebra de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o anticomutador. O anticomutador de duas matrizes
e
é definido como:
Isso significa que a gente soma o produto de
com
com o produto de
com
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar quais são as matrizes de Pauli que a gente tem:
Essas matrizes são fundamentais na descrição do spin de partículas em mecânica quântica.
Passo 4
Vamos calcular o anticomutador
para os diferentes casos de
e
. Temos duas possibilidades: ou
é igual a
, ou
é diferente de
.
Passo 5
Caso 1: Quando
Vamos calcular, por exemplo,
:
Calculando
:
Então:
Como
, validamos que
.
Passo 6
Caso 2: Quando
Vamos calcular, por exemplo,
:
Calculando
:
E
:
Somando os dois resultados:
Como
quando
, confirmamos que
.
Resposta
Assim, provamos que
para todas as matrizes de Pauli
e
.