As matrizes de spin de Pauli são definidas como:
onde é a unidade imaginária. Prove que: , onde é o delta de Kronecker definido atraves da regra

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que o anticomutador das matrizes de Pauli, representado por , é igual a . Estamos lidando com matrizes de spin, uma parte importante da mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anticomutador, conhecer bem as matrizes de Pauli e usar um pouco de álgebra de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o anticomutador. O anticomutador de duas matrizes e é definido como:
Isso significa que a gente soma o produto de com com o produto de com .

Passo 3

Agora, vamos lembrar quais são as matrizes de Pauli que a gente tem:
Essas matrizes são fundamentais na descrição do spin de partículas em mecânica quântica.

Passo 4

Vamos calcular o anticomutador para os diferentes casos de e . Temos duas possibilidades: ou é igual a , ou é diferente de .

Passo 5

Caso 1: Quando
Vamos calcular, por exemplo, :
Calculando :
Então:
Como , validamos que .

Passo 6

Caso 2: Quando
Vamos calcular, por exemplo, :
Calculando :
E :
Somando os dois resultados:
Como quando , confirmamos que .

Resposta

Assim, provamos que para todas as matrizes de Pauli e .

Exercícios relacionados

A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo é dada por , onde x está em metros e tem segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s , (b) 2 s , © 4 s . (d) Qual é o deslocamento do objeto entre ? (e) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de a ? (f) Qual é a aceleração média para o intervalo de tempo de a ? (g) Qual é a velocidade instantânea para o tempo de ? (h) Qual é a aceleração instantânea para tempo de ?
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) am=4 m/s2;g) v(3)
O comutador de duas matrizes e é definido como , e o anticomutador destas como . Demostre as seguintes identidades: (identidade de Jacobi).
Após correr uma distância de 3,5 m, um objeto tem sua velocidade diminuída de 2,0 m/s. Um segundo adiante, sua velocidade é diminuída novamente, mas de . (a) Supondo que a aceleração seja constante, calcule a velocidade no início do movimento. (b) Calcule a distância total percorrida pelo objeto até parar.
Seja o conjunto de polinomios de variável complexa e de grau menor o igual a . Prove que: é um espaço vetorial.