As matrizes de spin de Pauli são definidas como:
sigma1=(ll 0 & 1 1 & 0 ), sigma2=(cc 0 & -i i & 0 ), e sigma3=(cc 1 & 0 0 & -1 )
onde i é a unidade imaginária. Prove que: sigmai, sigmaj=2 de, onde de é o delta de Kronecker definido atraves da regra
de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que o anticomutador das matrizes de Pauli, representado por sigmai, sigmaj, é igual a 2 de. Estamos lidando com matrizes de spin, uma parte importante da mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anticomutador, conhecer bem as matrizes de Pauli e usar um pouco de álgebra de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o anticomutador. O anticomutador de duas matrizes A e B é definido como:
A, B = AB + BA
Isso significa que a gente soma o produto de A com B com o produto de B com A.

Passo 3

Agora, vamos lembrar quais são as matrizes de Pauli que a gente tem:
sigma1 = 0 & 1 1 & 0 , sigma2 = 0 & -i i & 0 , sigma3 = 1 & 0 0 & -1
Essas matrizes são fundamentais na descrição do spin de partículas em mecânica quântica.

Passo 4

Vamos calcular o anticomutador sigmai, sigmaj para os diferentes casos de i e j. Temos duas possibilidades: ou i é igual a j, ou i é diferente de j.

Passo 5

Caso 1: Quando i = j
Vamos calcular, por exemplo, sigma1, sigma1:
sigma1, sigma1 = sigma1 sigma1 + sigma1 sigma1 = 2 sigma1^2
Calculando sigma1^2:
sigma1^2 = 0 & 1 1 & 0 0 & 1 1 & 0 = 1 & 0 0 & 1 = I
Então:
sigma1, sigma1 = 2I = 2 de
Como de, validamos que sigmai, sigmai = 2I = 2 de.

Passo 6

Caso 2: Quando i neq j
Vamos calcular, por exemplo, sigma1, sigma2:
sigma1, sigma2 = sigma1 sigma2 + sigma2 sigma1
Calculando sigma1 sigma2:
sigma1 sigma2 = 0 & 1 1 & 0 0 & -i i & 0 = i & 0 0 & -i
E sigma2 sigma1:
sigma2 sigma1 = 0 & -i i & 0 0 & 1 1 & 0 = -i & 0 0 & i
Somando os dois resultados:
sigma1, sigma2 = i & 0 0 & -i + -i & 0 0 & i = 0 & 0 0 & 0 = 0 = 2 de
Como de quando i neq j, confirmamos que sigmai, sigmaj = 0 = 2 de.

Resposta

Assim, provamos que sigmai, sigmaj = 2 de para todas as matrizes de Pauli sigmai e sigmaj.

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