As matrizes de spin de Pauli são definidas como:
onde
é a unidade imaginária. Prove que:
, onde
é o delta de Kronecker definido atraves da regra
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que o anticomutador das matrizes de Pauli, representado por
, é igual a
. Estamos lidando com matrizes de spin, uma parte importante da mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anticomutador, conhecer bem as matrizes de Pauli e usar um pouco de álgebra de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o anticomutador. O anticomutador de duas matrizes
e
é definido como:
Isso significa que a gente soma o produto de
com
com o produto de
com
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar quais são as matrizes de Pauli que a gente tem:
Essas matrizes são fundamentais na descrição do spin de partículas em mecânica quântica.
Passo 4
Vamos calcular o anticomutador
para os diferentes casos de
e
. Temos duas possibilidades: ou
é igual a
, ou
é diferente de
.
Passo 5
Caso 1: Quando
Vamos calcular, por exemplo,
:
Calculando
:
Então:
Como
, validamos que
.
Passo 6
Caso 2: Quando
Vamos calcular, por exemplo,
:
Calculando
:
E
:
Somando os dois resultados:
Como
quando
, confirmamos que
.
Resposta
Assim, provamos que
para todas as matrizes de Pauli
e
.
Exercícios relacionados
A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo
é dada por
, onde x está em metros e tem segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s , (b) 2 s , © 4 s . (d) Qual é o deslocamento do objeto entre
? (e) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de
a
? (f) Qual é a aceleração média para o intervalo de tempo de
a
? (g) Qual é a velocidade instantânea para o tempo de
? (h) Qual é a aceleração instantânea para tempo de
?
a) ; b)
; c)
; d)
; e)
; f) am=4 m/s2;g) v(3)
a)
O comutador
de duas matrizes
e
é definido como
, e o anticomutador
destas como
. Demostre as seguintes identidades:
(identidade de Jacobi).
Após correr uma distância de 3,5 m, um objeto tem sua velocidade diminuída de 2,0 m/s. Um segundo adiante, sua velocidade é diminuída novamente, mas de
. (a) Supondo que a aceleração seja constante, calcule a velocidade no início do movimento. (b) Calcule a distância total percorrida pelo objeto até parar.
Seja
o conjunto de polinomios de variável complexa e de grau menor o igual a
. Prove que:
é um espaço vetorial.