O comutador
de duas matrizes
e
é definido como
, e o anticomutador
destas como
. Demostre as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar uma identidade envolvendo comutadores de matrizes. Especificamente, queremos mostrar que:
Aqui, o comutador
é definido como
. Para resolver isso, vamos usar as definições dos comutadores e as propriedades da multiplicação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da equação que queremos provar:
Aqui, simplesmente aplicamos a definição do comutador substituindo
por
e
por
.
Passo 3
Agora, vamos distribuir as multiplicações:
Então, nossa expressão fica:
Passo 4
Vamos reorganizar o segundo termo
para facilitar a comparação com o lado direito da identidade que queremos provar. Note que:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos adicionar e subtrair
na expressão para introduzir o comutador
:
Agrupando os termos:
Reconhecendo os comutadores:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Mostre que as matrizes de Pauli em conjunto com a matriz identidade de ordem 2 formam uma base do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 (use o resultado do exercicio anterior, referente à dimensão de um espaço de matrizes). Considere que a operação entre elementos desse espaço é a soma de matrizes.
Considere um espaço vetorial real
dimensional de n-tuplas. Mostre que os
vetores
são linearmente independentes.
O comutador
de duas matrizes
e
é definido como
, e o anticomutador
destas como
. Demostre as seguintes identidades:
Para que valor(es) de
os vetores
são linearmente dependentes