O comutador [A, B] de duas matrizes A e B é definido como [A, B]=A B-B A, e o anticomutador A, B destas como A, B=A B+B A. Demostre as seguintes identidades: [A B, C]=A[B, C]+[A, C] B

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar uma identidade envolvendo comutadores de matrizes. Especificamente, queremos mostrar que:
[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B
Aqui, o comutador é definido como . Para resolver isso, vamos usar as definições dos comutadores e as propriedades da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da equação que queremos provar:
[A B, C] = (A B) C - C (A B)
Aqui, simplesmente aplicamos a definição do comutador substituindo por e por .

Passo 3

Agora, vamos distribuir as multiplicações:
(A B) C = A (B C)
C (A B) = C A B
Então, nossa expressão fica:
[A B, C] = A (B C) - C A B

Passo 4

Vamos reorganizar o segundo termo C A B = C A B = (C A) B para facilitar a comparação com o lado direito da identidade que queremos provar. Note que:
[A B, C] = A (B C) - (C A) B
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos adicionar e subtrair A (B C) - (C A) B = A B C - C A B = A B C - A C B + A C B - C A B na expressão para introduzir o comutador = A (B C - C B) + (A C - C A) B :
= A [B, C] + [A, C] B
Agrupando os termos:
Reconhecendo os comutadores:

Resposta

Portanto, mostramos que:
[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B

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