O comutador de duas matrizes e é definido como , e o anticomutador destas como . Demostre as seguintes identidades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para provar uma identidade envolvendo comutadores de matrizes. Especificamente, queremos mostrar que:
Aqui, o comutador é definido como . Para resolver isso, vamos usar as definições dos comutadores e as propriedades da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da equação que queremos provar:
Aqui, simplesmente aplicamos a definição do comutador substituindo por e por .

Passo 3

Agora, vamos distribuir as multiplicações:
Então, nossa expressão fica:

Passo 4

Vamos reorganizar o segundo termo para facilitar a comparação com o lado direito da identidade que queremos provar. Note que:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos adicionar e subtrair na expressão para introduzir o comutador :
Agrupando os termos:
Reconhecendo os comutadores:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Mostre que as matrizes de Pauli em conjunto com a matriz identidade de ordem 2 formam uma base do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 (use o resultado do exercicio anterior, referente à dimensão de um espaço de matrizes). Considere que a operação entre elementos desse espaço é a soma de matrizes.
Considere um espaço vetorial real dimensional de n-tuplas. Mostre que os vetores
são linearmente independentes.
O comutador de duas matrizes e é definido como , e o anticomutador destas como . Demostre as seguintes identidades:
Para que valor(es) de os vetores
são linearmente dependentes