O comutador [A, B] de duas matrizes A e B é definido como [A, B]=A B-B A, e o anticomutador A, B destas como A, B=A B+B A. Demostre as seguintes identidades: [A B, C]=AB, C-A, C B

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer provar que para três matrizes [A B, C] = AB, C - A, C B , e , a seguinte identidade vale:
Aqui, é o comutador de e , definido por , e é o anticomutador, definido por . Vamos precisar dessas definições para resolver o exercício.

Passo 2

Para provar a identidade, vamos começar expandindo o lado esquerdo da equação, que é o comutador [A B, C] = (A B) C - C (A B) . Usando a definição do comutador:
Agora, vamos simplificar cada termo.

Passo 3

Simplificando o primeiro termo (A B) C = A (B C) :
Isso porque a multiplicação de matrizes é associativa, então podemos reescrever sem mudar a ordem dos fatores.

Passo 4

Simplificando o segundo termo C (A B) = (C A) B :
Aqui, usamos a associatividade novamente para reescrever a expressão.

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão do comutador:
[A B, C] = A (B C) - (C A) B
Queremos relacionar isso com os anticoradores, então vamos manipular os termos para introduzir e .

Passo 6

Observe que:
B, C = B C + C B e A, C = A C + C A
Vamos isolar B C = B, C - C B e C A = A, C - A C e nessas equações:

Passo 7

Substituindo essas expressões na equação do comutador:
[A B, C] = A (B, C - C B) - (A, C - A C) B
Agora, vamos distribuir e nos termos correspondentes.

Passo 8

Distribuindo:
[A B, C] = A B, C - A C B - A, C B + A C B
Perceba que os termos e se cancelam.

Passo 9

Após cancelar os termos, ficamos com:
[A B, C] = A B, C - A, C B
E assim, provamos a identidade que queríamos demonstrar.

Resposta

Portanto, mostramos que:
[A B, C] = AB, C - A, C B

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