O comutador de duas matrizes e é definido como , e o anticomutador destas como . Demostre as seguintes identidades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer provar que para três matrizes , e , a seguinte identidade vale:
Aqui, é o comutador de e , definido por , e é o anticomutador, definido por . Vamos precisar dessas definições para resolver o exercício.

Passo 2

Para provar a identidade, vamos começar expandindo o lado esquerdo da equação, que é o comutador . Usando a definição do comutador:
Agora, vamos simplificar cada termo.

Passo 3

Simplificando o primeiro termo :
Isso porque a multiplicação de matrizes é associativa, então podemos reescrever sem mudar a ordem dos fatores.

Passo 4

Simplificando o segundo termo :
Aqui, usamos a associatividade novamente para reescrever a expressão.

Passo 5

Agora, substituindo de volta na expressão do comutador:
Queremos relacionar isso com os anticoradores, então vamos manipular os termos para introduzir e .

Passo 6

Observe que:
Vamos isolar e nessas equações:

Passo 7

Substituindo essas expressões na equação do comutador:
Agora, vamos distribuir e nos termos correspondentes.

Passo 8

Distribuindo:
Perceba que os termos e se cancelam.

Passo 9

Após cancelar os termos, ficamos com:
E assim, provamos a identidade que queríamos demonstrar.

Resposta

Portanto, mostramos que:

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O comutador de duas matrizes e é definido como , e o anticomutador destas como . Demostre as seguintes identidades:
Mostre que as matrizes de Pauli em conjunto com a matriz identidade de ordem 2 formam uma base do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 (use o resultado do exercicio anterior, referente à dimensão de um espaço de matrizes). Considere que a operação entre elementos desse espaço é a soma de matrizes.
Para que valor(es) de os vetores
são linearmente dependentes
Seja o conjunto de polinomios de variável complexa e de grau menor o igual a . Prove que: O conjunto é uma base de . Sugestão: Primeiro mostre que os vetores de são linearmente independentes (1.i.), depois assuma que os elementos de e são também l.i. e use isso para mostrar que os polinomios de são l.i; finalmente use o principio de indução matemática para concluir que os elementos de são l.i…