O comutador
de duas matrizes
e
é definido como
, e o anticomutador
destas como
. Demostre as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer provar que para três matrizes
,
e
, a seguinte identidade vale:
Aqui,
é o comutador de
e
, definido por
, e
é o anticomutador, definido por
. Vamos precisar dessas definições para resolver o exercício.
Passo 2
Para provar a identidade, vamos começar expandindo o lado esquerdo da equação, que é o comutador
. Usando a definição do comutador:
Agora, vamos simplificar cada termo.
Passo 3
Simplificando o primeiro termo
:
Isso porque a multiplicação de matrizes é associativa, então podemos reescrever sem mudar a ordem dos fatores.
Passo 4
Simplificando o segundo termo
:
Aqui, usamos a associatividade novamente para reescrever a expressão.
Passo 5
Agora, substituindo de volta na expressão do comutador:
Queremos relacionar isso com os anticoradores, então vamos manipular os termos para introduzir
e
.
Passo 6
Observe que:
Vamos isolar
e
nessas equações:
Passo 7
Substituindo essas expressões na equação do comutador:
Agora, vamos distribuir
e
nos termos correspondentes.
Passo 8
Distribuindo:
Perceba que os termos
e
se cancelam.
Passo 9
Após cancelar os termos, ficamos com:
E assim, provamos a identidade que queríamos demonstrar.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
O comutador
de duas matrizes
e
é definido como
, e o anticomutador
destas como
. Demostre as seguintes identidades:
Mostre que as matrizes de Pauli em conjunto com a matriz identidade de ordem 2 formam uma base do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 (use o resultado do exercicio anterior, referente à dimensão de um espaço de matrizes). Considere que a operação entre elementos desse espaço é a soma de matrizes.
Para que valor(es) de
os vetores
são linearmente dependentes
Seja
o conjunto de polinomios de variável complexa e de grau menor o igual a
. Prove que: O conjunto
é uma base de
. Sugestão: Primeiro mostre que os vetores de
são linearmente independentes (1.i.), depois assuma que os elementos de
e
são também l.i. e use isso para mostrar que os polinomios de
são l.i; finalmente use o principio de indução matemática para concluir que os elementos de
são l.i…