Para que valor(es) de os vetores
são linearmente dependentes

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de que faz com que os vetores , e sejam linearmente dependentes. Isso está ligado ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre combinação linear e dependência de vetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar se vetores são dependentes usando determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Basicamente, isso quer dizer que um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No caso de três vetores no espaço tridimensional, isso acontece se o determinante da matriz formada por esses vetores for igual a zero.

Passo 3

Então, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes. Vamos calcular passo a passo:
Vamos resolver cada parte:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:

Passo 5

Agora, somamos tudo:
Vamos simplificar:

Passo 6

Para os vetores serem linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que torna os vetores linearmente dependentes é .

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