Mostre que as matrizes de Pauli em conjunto com a matriz identidade de ordem 2 formam uma base do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 (use o resultado do exercicio anterior, referente à dimensão de um espaço de matrizes). Considere que a operação entre elementos desse espaço é a soma de matrizes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para mostrarmos que as matrizes de Pauli junto com a matriz identidade de ordem 2 formam uma base para o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. Isso está ligado ao conteúdo de espaços vetoriais e bases, e vamos precisar usar conceitos de linearidade e independência linear para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o espaço é o de todas as matrizes 2x2, e queremos ver se as matrizes de Pauli mais a identidade conseguem “gerar” qualquer matriz 2x2.

Passo 3

As matrizes de Pauli são três matrizes bem conhecidas na física e na matemática:
sigmax = 0 & 1 1 & 0 , sigmay = 0 & -i i & 0 , sigmaz = 1 & 0 0 & -1
E a matriz identidade é:
I = 1 & 0 0 & 1

Passo 4

Sabemos que o espaço das matrizes 2x2 tem dimensão 4, porque precisamos de 4 números para definir qualquer matriz 2x2. Já temos quatro matrizes aqui: , , e . Isso significa que se conseguirmos mostrar que elas são linearmente independentes, então elas formam uma base.

Passo 5

Vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes que seja igual à matriz zero:
aI + bsigmax + csigmay + dsigmaz = 0
Nosso objetivo é mostrar que os coeficientes , , e precisam ser todos iguais a zero.

Passo 6

Vamos escrever essa combinação linear explicitamente:
a 1 & 0 0 & 1 + b 0 & 1 1 & 0 + c 0 & -i i & 0 + d 1 & 0 0 & -1 = 0 & 0 0 & 0

Passo 7

Fazendo as contas, temos:
a + d & b - ci b + ci & a - d = 0 & 0 0 & 0
Isso nos dá o sistema de equações:
a + d = 0 b - ci = 0 b + ci = 0 a - d = 0

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  1. De e , somando as duas equações, temos , então . Substituindo em , também .
  2. De e , somando, , então . Subtraindo, , então .

Passo 9

Como , concluímos que as matrizes , , e são linearmente independentes.

Resposta

Portanto, as matrizes de Pauli junto com a matriz identidade de ordem 2 formam uma base do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2.

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