Mostre que as matrizes de Pauli em conjunto com a matriz identidade de ordem 2 formam uma base do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2 (use o resultado do exercicio anterior, referente à dimensão de um espaço de matrizes). Considere que a operação entre elementos desse espaço é a soma de matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para mostrarmos que as matrizes de Pauli junto com a matriz identidade de ordem 2 formam uma base para o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2. Isso está ligado ao conteúdo de espaços vetoriais e bases, e vamos precisar usar conceitos de linearidade e independência linear para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, o espaço é o de todas as matrizes 2x2, e queremos ver se as matrizes de Pauli mais a identidade conseguem “gerar” qualquer matriz 2x2.
Passo 3
As matrizes de Pauli são três matrizes bem conhecidas na física e na matemática:
E a matriz identidade é:
Passo 4
Sabemos que o espaço das matrizes 2x2 tem dimensão 4, porque precisamos de 4 números para definir qualquer matriz 2x2. Já temos quatro matrizes aqui:
,
,
e
. Isso significa que se conseguirmos mostrar que elas são linearmente independentes, então elas formam uma base.
Passo 5
Vamos supor que exista uma combinação linear dessas matrizes que seja igual à matriz zero:
Nosso objetivo é mostrar que os coeficientes
,
,
e
precisam ser todos iguais a zero.
Passo 6
Vamos escrever essa combinação linear explicitamente:
Passo 7
Fazendo as contas, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
- De
e , somando as duas equações, temos , então . Substituindo em , também . - De
e , somando, , então . Subtraindo, , então .
Passo 9
Como
, concluímos que as matrizes
,
,
e
são linearmente independentes.
Resposta
Portanto, as matrizes de Pauli junto com a matriz identidade de ordem 2 formam uma base do espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 2.
Exercícios relacionados
Considere um espaço vetorial real
dimensional de n-tuplas. Mostre que os
vetores
são linearmente independentes.
Um alvo encontra-se a 914 m de um rifle que pode disparar balas com uma velocidade de
atirador mira diretamente (horizontalmente) para o alvo que se encontra à mesma altura do solo que o rifle. (a) Qual é a distância abaixo do alvo que a bala atingirá? (b) Qual é a inclinação, em relação à horizontal, que o atirador precisará impor ao rifle para atingir o alvo? (Lembrete:
.)
O comutador
de duas matrizes
e
é definido como
, e o anticomutador
destas como
. Demostre as seguintes identidades:
O comutador
de duas matrizes
e
é definido como
, e o anticomutador
destas como
. Demostre as seguintes identidades: