Considere um espaço vetorial real dimensional de n-tuplas. Mostre que os vetores
são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial real de dimensão , ou seja, um conjunto de vetores com componentes. O exercício nos apresenta vetores específicos e pede para mostrarmos que eles são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e usar conceitos de combinações lineares e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se tivermos:
então, para que os vetores sejam linearmente independentes, precisamos que .
Passo 3
Vamos escrever a combinação linear dos vetores dados igualando ao vetor zero:
Isso nos dá um sistema de equa��ões onde cada linha corresponde a uma componente do vetor resultante.
Passo 4
Vamos escrever esse sistema de forma mais clara. Para cada posição (de 1 a ), temos:
Observando os vetores fornecidos, vemos que:
Na primeira posição, apenas contribui, então temos .
Na segunda posição, e , então .
Na terceira posição, , , , então .
E assim por diante, até a última posição, onde apenas , então .
Passo 5
Já sabemos que e . Vamos usar isso nas equações intermediárias:
Da segunda posição:
Da terceira posição:
Continuando dessa forma, vemos que todos os coeficientes devem ser zero.
Passo 6
Como a única solução para o sistema é , concluímos que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores fornecidos são linearmente independentes.