Considere um espaço vetorial real n dimensional de n-tuplas. Mostre que os n vetores
x1 & =(1,1, cdots, 1,1) x2 & =(0,1, cdots, 1,1) x3 & =(0,0,1, cdots, 1,1) vdots & xn & =(0,0, cdots, 0,1)
são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial real de dimensão n, ou seja, um conjunto de vetores com n componentes. O exercício nos apresenta n vetores específicos e pede para mostrarmos que eles são linearmente independentes. Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e usar conceitos de combinações lineares e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela onde todos os coeficientes são zero. Ou seja, se tivermos:
c1 x1 + c2 x2 + cdots + cn xn = 0
então, para que os vetores sejam linearmente independentes, precisamos que c1 = c2 = cdots = cn = 0.

Passo 3

Vamos escrever a combinação linear dos vetores dados igualando ao vetor zero:
c1 1 1 vdots 1 + c2 0 1 vdots 1 + cdots + cn 0 0 vdots 1 = 0 0 vdots 0
Isso nos dá um sistema de equa��ões onde cada linha corresponde a uma componente do vetor resultante.

Passo 4

Vamos escrever esse sistema de forma mais clara. Para cada posição i (de 1 a n), temos:
c1 cdot x1i + c2 cdot x2i + cdots + cn cdot xni = 0
Observando os vetores fornecidos, vemos que:
  • Na primeira posição, apenas x11 = 1 contribui, então temos c1 = 0.
  • Na segunda posição, x12 = 1 e x22 = 1, então c1 + c2 = 0.
  • Na terceira posição, x13 = 1, x23 = 1, x33 = 1, então c1 + c2 + c3 = 0.
  • E assim por diante, até a última posição, onde apenas xnn = 1, então cn = 0.

Passo 5

Já sabemos que c1 = 0 e cn = 0. Vamos usar isso nas equações intermediárias:
  • Da segunda posição: 0 + c2 = 0 Rightarrow c2 = 0
  • Da terceira posição: 0 + 0 + c3 = 0 Rightarrow c3 = 0
  • Continuando dessa forma, vemos que todos os coeficientes ci devem ser zero.

Passo 6

Como a única solução para o sistema é c1 = c2 = cdots = cn = 0, concluímos que os vetores x1, x2, dots, xn são linearmente independentes.

Resposta

Os n vetores fornecidos são linearmente independentes.

Exercícios relacionados