Seja o conjunto de polinomios de variável complexa e de grau menor o igual a . Prove que: O conjunto é uma base de . Sugestão: Primeiro mostre que os vetores de são linearmente independentes (1.i.), depois assuma que os elementos de e são também l.i. e use isso para mostrar que os polinomios de são l.i; finalmente use o principio de indução matemática para concluir que os elementos de são l.i…
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é mostrar que o conjunto forma uma base para o conjunto , que contém todos os polinômios de grau menor ou igual a com coeficientes complexos. Para provar isso, vamos precisar entender o que é uma base, especificamente que os vetores (ou no nosso caso, polinômios) precisam ser linearmente independentes. Vamos usar o princípio da indução matemática para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando . O conjunto . Precisamos mostrar que esses dois polinômios são linearmente independentes. Ou seja, se para todos os valores de , então necessariamente e .
Passo 3
Para ver isso, imagine que . Isso significa que, para todo , a expressão é zero. Se escolhermos , temos . Agora, com , a equação vira . Para que isso seja verdade para todo , precisamos que . Portanto, os polinômios e são linearmente independentes quando .
Passo 4
Agora, vamos assumir que para algum , o conjunto é linearmente independente. Isso é nossa hipótese de indução. Queremos mostrar que, então, o conjunto também é linearmente independente.
Passo 5
Consideremos uma combinação linear no conjunto que resulta em zero:
Queremos provar que todos os coeficientes são zero.
Passo 6
Vamos reorganizar a equação:
Isso pode ser escrito como:
Mas, pelo nosso passo anterior, sabemos que os polinômios são linearmente independentes. A única maneira de essa equação ser verdadeira para todo é se todos os coeficientes forem zero.
Passo 7
Assim, mostramos que se o conjunto é linearmente independente, então também é linearmente independente. Pelo princípio da indução matemática, isso significa que para todo , o conjunto é linearmente independente.
Resposta
Portanto, concluímos que o conjunto é uma base para .