Seja Omegan o conjunto de polinomios de variável complexa e de grau menor o igual a n. Prove que: O conjunto xin=1, z, z^2, cdots, z^n é uma base de Omegan. Sugestão: Primeiro mostre que os vetores de xi1 (n=1) são linearmente independentes (1.i.), depois assuma que os elementos de xim-1(n=m-1 e m <= n) são também l.i. e use isso para mostrar que os polinomios de xim são l.i; finalmente use o principio de indução matemática para concluir que os elementos de xin são l.i…

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é mostrar que o conjunto xin = 1, z, z^2, dots, z^n forma uma base para o conjunto Omegan, que contém todos os polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes complexos. Para provar isso, vamos precisar entender o que é uma base, especificamente que os vetores (ou no nosso caso, polinômios) precisam ser linearmente independentes. Vamos usar o princípio da indução matemática para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando n = 1. O conjunto xi1 = 1, z. Precisamos mostrar que esses dois polinômios são linearmente independentes. Ou seja, se a cdot 1 + b cdot z = 0 para todos os valores de z, então necessariamente a = 0 e b = 0.

Passo 3

Para ver isso, imagine que a cdot 1 + b cdot z = 0. Isso significa que, para todo z, a expressão é zero. Se escolhermos z = 0, temos a = 0. Agora, com a = 0, a equação vira b cdot z = 0. Para que isso seja verdade para todo z, precisamos que b = 0. Portanto, os polinômios 1 e z são linearmente independentes quando n = 1.

Passo 4

Agora, vamos assumir que para algum m-1, o conjunto xim-1 = 1, z, z^2, dots, z^m-1 é linearmente independente. Isso é nossa hipótese de indução. Queremos mostrar que, então, o conjunto xim = 1, z, z^2, dots, z^m também é linearmente independente.

Passo 5

Consideremos uma combinação linear no conjunto xim que resulta em zero:
a0 cdot 1 + a1 cdot z + a2 cdot z^2 + dots + am cdot z^m = 0
Queremos provar que todos os coeficientes a0, a1, dots, am são zero.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação:
am cdot z^m + (a0 + a1 cdot z + a2 cdot z^2 + dots + am-1 cdot z^m-1) = 0
Isso pode ser escrito como:
z^m = -a0am - a1am cdot z - dots - am-1am cdot z^m-1
Mas, pelo nosso passo anterior, sabemos que os polinômios 1, z, dots, z^m-1 são linearmente independentes. A única maneira de essa equação ser verdadeira para todo z é se todos os coeficientes a0, a1, dots, am forem zero.

Passo 7

Assim, mostramos que se o conjunto xim-1 é linearmente independente, então xim também é linearmente independente. Pelo princípio da indução matemática, isso significa que para todo n >= 1, o conjunto xin = 1, z, z^2, dots, z^n é linearmente independente.

Resposta

Portanto, concluímos que o conjunto xin = 1, z, z^2, dots, z^n é uma base para Omegan.

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