Seja
o conjunto de polinomios de variável complexa e de grau menor o igual a
. Prove que: O conjunto
é uma base de
. Sugestão: Primeiro mostre que os vetores de
são linearmente independentes (1.i.), depois assuma que os elementos de
e
são também l.i. e use isso para mostrar que os polinomios de
são l.i; finalmente use o principio de indução matemática para concluir que os elementos de
são l.i…
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A parada aqui é mostrar que o conjunto
forma uma base para o conjunto
, que contém todos os polinômios de grau menor ou igual a
com coeficientes complexos. Para provar isso, vamos precisar entender o que é uma base, especificamente que os vetores (ou no nosso caso, polinômios) precisam ser linearmente independentes. Vamos usar o princípio da indução matemática para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que é quando
. O conjunto
. Precisamos mostrar que esses dois polinômios são linearmente independentes. Ou seja, se
para todos os valores de
, então necessariamente
e
.
Passo 3
Para ver isso, imagine que
. Isso significa que, para todo
, a expressão é zero. Se escolhermos
, temos
. Agora, com
, a equação vira
. Para que isso seja verdade para todo
, precisamos que
. Portanto, os polinômios
e
são linearmente independentes quando
.
Passo 4
Agora, vamos assumir que para algum
, o conjunto
é linearmente independente. Isso é nossa hipótese de indução. Queremos mostrar que, então, o conjunto
também é linearmente independente.
Passo 5
Consideremos uma combinação linear no conjunto
que resulta em zero:
Queremos provar que todos os coeficientes
são zero.
Passo 6
Vamos reorganizar a equação:
Isso pode ser escrito como:
Mas, pelo nosso passo anterior, sabemos que os polinômios
são linearmente independentes. A única maneira de essa equação ser verdadeira para todo
é se todos os coeficientes
forem zero.
Passo 7
Assim, mostramos que se o conjunto
é linearmente independente, então
também é linearmente independente. Pelo princípio da indução matemática, isso significa que para todo
, o conjunto
é linearmente independente.
Resposta
Portanto, concluímos que o conjunto
é uma base para
.