Mostre que os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,2) e C=(1,1,1) são vértices de um triângulo retângulo e calcule sua área.

Passo 1

Beleza, galera! O exercício pede para a gente mostrar que os pontos , e formam um triângulo retângulo e, depois, calcular a área desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de distância no espaço tridimensional para encontrar os comprimentos dos lados e, em seguida, verificar se os lados obedecem ao Teorema de Pitágoras. Depois, vamos calcular a área usando as medidas que encontrarmos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre cada par de pontos usando a fórmula de distância no espaço:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2

Passo 3

Calculando a distância entre dAB = raiz(-1 - 1)^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 1)^2 = raiz(-2)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz4 + 0 + 1 = raiz5 e :

Passo 4

Agora, a distância entre dBC = raiz(1 - (-1))^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 2)^2 = raiz(2)^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 e :

Passo 5

Por fim, a distância entre dAC = raiz(1 - 1)^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 1)^2 = raiz0^2 + 1^2 + 0^2 = raiz0 + 1 + 0 = raiz1 = 1 e :

Passo 6

Agora que temos os comprimentos dos lados: (raiz5)^2 + (1)^2 = 5 + 1 = 6 = (raiz6)^2 , e . Para verificar se é um triângulo retângulo, vamos ver se o Teorema de Pitágoras se aplica a algum par desses lados. O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Vamos testar se :
Isso confirma que o triângulo é retângulo, com sendo a hipotenusa.

Passo 7

Agora, para calcular a área do triângulo retângulo, usamos a fórmula:
Área = 12 times Cateto 1 times Cateto 2 Á
Aqui, os catetos são e .

Passo 8

Substituindo os valores na fórmula:
Área = 12 times raiz5 times 1 = raiz52 Á

Resposta

Os pontos , e formam um triângulo retângulo, e a área desse triângulo é unidades quadradas.

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