Mostre que os pontos e são vértices de um triângulo retângulo e calcule sua área.
Passo 1
Beleza, galera! O exercício pede para a gente mostrar que os pontos , e formam um triângulo retângulo e, depois, calcular a área desse triângulo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de distância no espaço tridimensional para encontrar os comprimentos dos lados e, em seguida, verificar se os lados obedecem ao Teorema de Pitágoras. Depois, vamos calcular a área usando as medidas que encontrarmos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a distância entre cada par de pontos usando a fórmula de distância no espaço:
Passo 3
Calculando a distância entre e :
Passo 4
Agora, a distância entre e :
Passo 5
Por fim, a distância entre e :
Passo 6
Agora que temos os comprimentos dos lados: , e . Para verificar se é um triângulo retângulo, vamos ver se o Teorema de Pitágoras se aplica a algum par desses lados. O Teorema de Pitágoras diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Vamos testar se :
Isso confirma que o triângulo é retângulo, com sendo a hipotenusa.
Passo 7
Agora, para calcular a área do triângulo retângulo, usamos a fórmula:
Aqui, os catetos são e .
Passo 8
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
Os pontos , e formam um triângulo retângulo, e a área desse triângulo é unidades quadradas.