Determinar quais são os produtos possíveis; determinar quais são as matrizes quadradas; determinar quais são as matrizes simétricas.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos cinco matrizes diferentes: , , , e . O que queremos descobrir são três coisas:
Quais produtos de matrizes são possíveis entre essas matrizes.
Quais desses produtos resultam em matrizes quadradas (ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas).
Quais dessas matrizes quadradas são simétricas (ou seja, iguais à sua transposta).
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes: para multiplicar duas matrizes e , o número de colunas em deve ser igual ao número de linhas em . Além disso, vamos precisar entender o que é uma matriz quadrada e uma matriz simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada matriz para facilitar a visualização:
é uma matriz (1 linha e 3 colunas).
é uma matriz (2 linhas e 1 coluna).
é uma matriz (3 linhas e 2 colunas).
é uma matriz (2 linhas e 2 colunas).
é uma matriz (3 linhas e 3 colunas).
Passo 3
Agora, vamos listar todos os pares possíveis de matrizes para multiplicar. Temos 5 matrizes, então existem combinações possíveis. Mas nem todas vão dar certo porque precisamos que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Vamos verificar cada combinação:
: e → Não dá, porque 3 ≠ 1.
: e → Não dá, porque 3 ≠ 2.
: e → Dá, porque 3 = 3.
: e → Não dá, porque 3 ≠ 2.
: e → Dá, porque 3 = 3.
: e → Dá, porque 1 = 1.
: e → Não dá, porque 1 ≠ 2.
: e → Não dá, porque 1 ≠ 3.
: e → Dá, porque 1 = 2.
: e → Não dá, porque 1 ≠ 3.
: e → Não dá, porque 2 ≠ 1.
: e → Dá, porque 2 = 2.
: e → Não dá, porque 2 ≠ 3.
: e → Dá, porque 2 = 2.
: e → Não dá, porque 2 ≠ 3.
: e → Dá, porque 2 = 1.
: e → Dá, porque 2 = 2.
: e → Não dá, porque 2 ≠ 3.
: e → Dá, porque 2 = 2.
: e → Não dá, porque 2 ≠ 3.
: e → Não dá, porque 3 ≠ 1.
: e → Não dá, porque 3 ≠ 2.
: e → Dá, porque 3 = 3.
: e → Não dá, porque 3 ≠ 2.
: e → Dá, porque 3 = 3.
Então, os produtos possíveis são:
Passo 4
Agora que sabemos quais produtos são possíveis, vamos verificar quais deles resultam em matrizes quadradas. Lembrando que uma matriz resultante de terá o número de linhas de e o número de colunas de .
Vamos analisar cada produto possível:
: é e é → Resultado será → Não é quadrada.
: é e é → Resultado será → Não é quadrada.
: é e é → Resultado será → Não é quadrada.
: é e é → Resultado será → É quadrada.
: é e é → Resultado será → Não é quadrada.
: é e é → Resultado será → Não é quadrada.
: é e é → Não é possível, pois já vimos que não dá.
: é e é → Resultado será → Não é quadrada.
: é e é → Resultado será → É quadrada.
: é e é → Resultado será → Não é quadrada.
: é e é → Resultado será → É quadrada.
Então, as matrizes quadradas resultantes são:
Passo 5
Agora, vamos descobrir quais dessas matrizes quadradas são simétricas. Uma matriz é simétrica se for igual à sua transposta, ou seja, B = 1 -2 , D = -2 & 5 5 & 0 . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Vamos analisar cada uma das matrizes quadradas:
B times D = 1 times (-2) + 0 times 5 & 1 times 5 + 0 times 0 -2 times (-2) + 0 times 5 & -2 times 5 + 0 times 0 = -2 & 5 4 & -10 :
Primeiro, vamos calcular (B times D)^T = -2 & 4 5 & -10 : D = -2 & 5 5 & 0 O produto será: D times D = (-2) times (-2) + 5 times 5 & (-2) times 5 + 5 times 0 5 times (-2) + 0 times 5 & 5 times 5 + 0 times 0 = 4 + 25 & -10 + 0 -10 + 0 & 25 + 0 = 29 & -10 -10 & 25
Agora, a transposta de (D times D)^T = 29 & -10 -10 & 25 : E = -1 & 1 & 3 -1 & -4 & 0 0 & 2 & 5
Como E times E = (-1)(-1) + 1(-1) + 3(0) & (-1)(1) + 1(-4) + 3(2) & (-1)(3) + 1(0) + 3(5) (-1)(-1) + (-4)(-1) + 0(0) & (-1)(1) + (-4)(-4) + 0(2) & (-1)(3) + (-4)(0) + 0(5) 0(-1) + 2(-1) + 5(0) & 0(1) + 2(-4) + 5(2) & 0(3) + 2(0) + 5(5) , não é simétrica.