(Produtos de matrizes) Considerem-se as matrizes
A=[lll 1 & 2 & 3 ] B=[r 1 -2 ] C=[rr 2 & 1 -3 & 0 1 & 2 ] D=[rr -2 & 5 5 & 0 ] E=[rrr -1 & 1 & 3 -1 & -4 & 0 0 & 2 & 5 ]
Determinar quais são os produtos possíveis; determinar quais são as matrizes quadradas; determinar quais são as matrizes simétricas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos cinco matrizes diferentes: , , , e . O que queremos descobrir são três coisas:
  1. Quais produtos de matrizes são possíveis entre essas matrizes.
  2. Quais desses produtos resultam em matrizes quadradas (ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas).
  3. Quais dessas matrizes quadradas são simétricas (ou seja, iguais à sua transposta).
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes: para multiplicar duas matrizes e , o número de colunas em deve ser igual ao número de linhas em . Além disso, vamos precisar entender o que é uma matriz quadrada e uma matriz simétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as dimensões de cada matriz para facilitar a visualização:
  • é uma matriz (1 linha e 3 colunas).
  • é uma matriz (2 linhas e 1 coluna).
  • é uma matriz (3 linhas e 2 colunas).
  • é uma matriz (2 linhas e 2 colunas).
  • é uma matriz (3 linhas e 3 colunas).

Passo 3

Agora, vamos listar todos os pares possíveis de matrizes para multiplicar. Temos 5 matrizes, então existem combinações possíveis. Mas nem todas vão dar certo porque precisamos que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Vamos verificar cada combinação:
  1. : e → Não dá, porque 3 ≠ 1.
  2. : e → Não dá, porque 3 ≠ 2.
  3. : e → Dá, porque 3 = 3.
  4. : e → Não dá, porque 3 ≠ 2.
  5. : e → Dá, porque 3 = 3.
  6. : e → Dá, porque 1 = 1.
  7. : e → Não dá, porque 1 ≠ 2.
  8. : e → Não dá, porque 1 ≠ 3.
  9. : e → Dá, porque 1 = 2.
  10. : e → Não dá, porque 1 ≠ 3.
  11. : e → Não dá, porque 2 ≠ 1.
  12. : e → Dá, porque 2 = 2.
  13. : e → Não dá, porque 2 ≠ 3.
  14. : e → Dá, porque 2 = 2.
  15. : e → Não dá, porque 2 ≠ 3.
  16. : e → Dá, porque 2 = 1.
  17. : e → Dá, porque 2 = 2.
  18. : e → Não dá, porque 2 ≠ 3.
  19. : e → Dá, porque 2 = 2.
  20. : e → Não dá, porque 2 ≠ 3.
  21. : e → Não dá, porque 3 ≠ 1.
  22. : e → Não dá, porque 3 ≠ 2.
  23. : e → Dá, porque 3 = 3.
  24. : e → Não dá, porque 3 ≠ 2.
  25. : e → Dá, porque 3 = 3.
Então, os produtos possíveis são:

Passo 4

Agora que sabemos quais produtos são possíveis, vamos verificar quais deles resultam em matrizes quadradas. Lembrando que uma matriz resultante de terá o número de linhas de e o número de colunas de .
Vamos analisar cada produto possível:
  1. : é e é → Resultado será → Não é quadrada.
  2. : é e é → Resultado será → Não é quadrada.
  3. : é e é → Resultado será → Não é quadrada.
  4. : é e é → Resultado será → É quadrada.
  5. : é e é → Resultado será → Não é quadrada.
  6. : é e é → Resultado será → Não é quadrada.
  7. : é e é → Não é possível, pois já vimos que não dá.
  8. : é e é → Resultado será → Não é quadrada.
  9. : é e é → Resultado será → É quadrada.
  10. : é e é → Resultado será → Não é quadrada.
  11. : é e é → Resultado será → É quadrada.
Então, as matrizes quadradas resultantes são:

Passo 5

Agora, vamos descobrir quais dessas matrizes quadradas são simétricas. Uma matriz é simétrica se for igual à sua transposta, ou seja, B = 1 -2 , D = -2 & 5 5 & 0 . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas.
Vamos analisar cada uma das matrizes quadradas:
  1. B times D = 1 times (-2) + 0 times 5 & 1 times 5 + 0 times 0 -2 times (-2) + 0 times 5 & -2 times 5 + 0 times 0 = -2 & 5 4 & -10 :
    • Primeiro, vamos calcular (B times D)^T = -2 & 4 5 & -10 : D = -2 & 5 5 & 0 O produto será: D times D = (-2) times (-2) + 5 times 5 & (-2) times 5 + 5 times 0 5 times (-2) + 0 times 5 & 5 times 5 + 0 times 0 = 4 + 25 & -10 + 0 -10 + 0 & 25 + 0 = 29 & -10 -10 & 25
    • Agora, a transposta de (D times D)^T = 29 & -10 -10 & 25 : E = -1 & 1 & 3 -1 & -4 & 0 0 & 2 & 5
    • Como E times E = (-1)(-1) + 1(-1) + 3(0) & (-1)(1) + 1(-4) + 3(2) & (-1)(3) + 1(0) + 3(5) (-1)(-1) + (-4)(-1) + 0(0) & (-1)(1) + (-4)(-4) + 0(2) & (-1)(3) + (-4)(0) + 0(5) 0(-1) + 2(-1) + 5(0) & 0(1) + 2(-4) + 5(2) & 0(3) + 2(0) + 5(5) , não é simétrica.
  2. E times E = 1 - 1 + 0 & -1 -4 + 6 & -3 + 0 + 15 1 + 4 + 0 & -1 + 16 + 0 & -3 + 0 + 0 0 -2 + 0 & 0 -8 + 10 & 0 + 0 + 25 = 0 & 1 & 12 5 & 15 & -3 -2 & 2 & 25 :
    • Vamos calcular (E times E)^T = 0 & 5 & -2 1 & 15 & 2 12 & -3 & 25 : O produto será:
    • A transposta de :
    • Como , é simétrica.
  3. :
    • Vamos calcular : O produto será: Calculando cada elemento:
    • A transposta de :
    • Como , não é simétrica.

Resposta

Dos produtos possíveis, as matrizes quadradas resultantes são , e . Dessas, apenas é uma matriz simétrica.

Exercícios relacionados

Mostre que os pontos A=(1,0,1), B=(-1,0,2) e C=(1,1,1) são vértices de um triângulo retângulo e calcule sua área.
Determinar a dimensão e uma base para o seguinte subespaço de M(2,2)
S=[ll a & b c & d ] in M(2,2): b=a+c e d=c
Gabarito: dim S=2 e uma base de S é [ll1 & 1 0 & 0],[ll0 & 1 1 & 1]
(Comutadores de uma matriz) Dada a matriz A, deteterminar todas as matrizes B que comutam com A, i.e., A B=B A.
12.1 A=[ll1 & 1 0 & 1]
Qual a condição para que P=(x, y) seja equidistante de A=(2,3) e B=(5,-1) ? R.: 6x-8y-13=0