(Comutadores de uma matriz) Dada a matriz , deteterminar todas as matrizes que comutam , i.e., .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma matriz dada por:
E queremos encontrar todas as matrizes que comutam com , ou seja, que satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e igualar os resultados para encontrar as condições necessárias para .
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a matriz que queremos encontrar tem a forma geral de uma matriz 2x2:
Aqui, , , e são números reais que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto e o produto .
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Para que , as matrizes resultantes devem ser iguais em todas as posições. Então, igualamos as entradas correspondentes:
Vamos simplificar cada equação:
simplifica para (já que )
simplifica para
é sempre verdadeira
simplifica para
Passo 5
Agora, vamos resolver as equações obtidas:
De e , temos que ou . Mas como é um elemento fixo da matriz , geralmente consideramos .
De , se , podemos dividir ambos os lados por e obter .