(Comutadores de uma matriz) Dada a matriz
, deteterminar todas as matrizes
que comutam
, i.e.,
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma matriz
dada por:
E queremos encontrar todas as matrizes
que comutam com
, ou seja, que satisfazem a equação
. Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e igualar os resultados para encontrar as condições necessárias para
.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a matriz
que queremos encontrar tem a forma geral de uma matriz 2x2:
Aqui,
,
,
e
são números reais que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto
e o produto
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Para que
, as matrizes resultantes devem ser iguais em todas as posições. Então, igualamos as entradas correspondentes:
Vamos simplificar cada equação:
-
simplifica para (já que ) -
simplifica para -
é sempre verdadeira -
simplifica para
Passo 5
Agora, vamos resolver as equações obtidas:
- De
e , temos que ou . Mas como é um elemento fixo da matriz , geralmente consideramos . - De
, se , podemos dividir ambos os lados por e obter .
Então, concluímos que
e
.
Resposta
Todas as matrizes
que comutam com
têm a forma:
onde
e
são números reais quaisquer.