(Comutadores de uma matriz) Dada a matriz A, deteterminar todas as matrizes B que comutam com A, i.e., A B=B A.
12.2 A=[lla & b 0 & a]

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos uma matriz A = a & b 0 & a dada por:
E queremos encontrar todas as matrizes que comutam com , ou seja, que satisfazem a equação . Para resolver isso, vamos precisar saber como multiplicar matrizes e igualar os resultados para encontrar as condições necessárias para .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a matriz B = c & d e & f que queremos encontrar tem a forma geral de uma matriz 2x2:
Aqui, , , e são números reais que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto AB = a & b 0 & a c & d e & f = a cdot c + b cdot e & a cdot d + b cdot f 0 cdot c + a cdot e & 0 cdot d + a cdot f = ac + be & ad + bf ae & af e o produto BA = c & d e & f a & b 0 & a = c cdot a + d cdot 0 & c cdot b + d cdot a e cdot a + f cdot 0 & e cdot b + f cdot a = ca & cb + da ea & eb + fa .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Para que , as matrizes resultantes devem ser iguais em todas as posições. Então, igualamos as entradas correspondentes:
Vamos simplificar cada equação:
  1. simplifica para (já que )
  2. simplifica para
  3. é sempre verdadeira
  4. simplifica para

Passo 5

Agora, vamos resolver as equações obtidas:
  1. De e , temos que ou . Mas como é um elemento fixo da matriz , geralmente consideramos .
  2. De , se , podemos dividir ambos os lados por e obter .
Então, concluímos que e .

Resposta

Todas as matrizes B = c & d 0 & c que comutam com têm a forma:
onde e são números reais quaisquer.

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