Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em
:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial
com vetores
e
. A função dada é
. Nosso objetivo é verificar se essa função é um produto interno (ou produto escalar) em
.
Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um produto interno. Vamos precisar verificar quatro propriedades fundamentais:
- Simetria:
- Linearidade em cada argumento:
para escalares - Positividade:
e se e somente se - Não-degenerescência: Se
para todo , então
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a simetria. Isso significa que a função deve satisfazer
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Observamos que
para
. Portanto:
A propriedade de simetria está satisfeita.
Passo 3
Agora, vamos verificar a linearidade. A linearidade em cada argumento significa que se tivermos:
para escalares
e vetores
.
Vamos calcular
:
Expandindo os quadrados:
Por outro lado, calculando
:
Comparando com a expansão anterior, vemos que os termos com
não estão presentes na expressão
. Isso significa que a linearidade não é satisfeita, a menos que
, o que não é garantido para todos os escalares
e
.
Portanto, a propriedade de linearidade não é satisfeita.
Passo 4
Como a propriedade de linearidade não foi satisfeita, já podemos concluir que a função
não é um produto interno em
.
Mas, para ser completo, vamos verificar as outras propriedades também.
Passo 5
Vamos verificar a positividade. Essa propriedade requer que
para todo
, e que
somente quando
.
Calculando
:
Como
é sempre não negativo (já que qualquer número real elevado à quarta potência é positivo ou zero), temos que:
Além disso,
ocorre somente quando
, ou seja, quando
.
Então, a propriedade de positividade está satisfeita.
Passo 6
Por último, vamos verificar a não-degenerescência. Ela exige que, se
para todo
, então
deve ser o vetor zero.
Suponha que
para todo
. Se escolhermos
de tal forma que apenas um componente seja não zero, por exemplo,
, então:
Isso implica que
. Fazendo o mesmo para
e
, obtemos
e
, respectivamente. Portanto,
.
Assim, a propriedade de não-degenerescência está satisfeita.
Resposta
A função
não é um produto interno em
porque não satisfaz a propriedade de linearidade.
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? Ache um vetor
.
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(espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3)
(a) ;
(b)
© ;
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em
:
(d) .
(d)
(Comutadores de uma matriz) Dada a matriz
, deteterminar todas as matrizes
que comutam
, i.e.,
.