Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em V :
© V=R^3, x=(x1, x2, x3), y=(y1, y2, y3), lang<= x, yrang<==x1^2 y1^2+x2^2 y2^2+x3^2 y3^2.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um espaço vetorial com vetores e . A função dada é . Nosso objetivo é verificar se essa função é um produto interno (ou produto escalar) em .
Para isso, precisamos lembrar dos critérios que definem um produto interno. Vamos precisar verificar quatro propriedades fundamentais:
  1. Simetria:
  2. Linearidade em cada argumento: para escalares
  3. Positividade: e se e somente se
  4. Não-degenerescência: Se para todo , então
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a simetria. Isso significa que a função deve satisfazer lang<= x, y rang<= = x1^2 y1^2 + x2^2 y2^2 + x3^2 y3^2 .
Calculando lang<= y, x rang<= = y1^2 x1^2 + y2^2 x2^2 + y3^2 x3^2 :
lang<= x, y rang<= = lang<= y, x rang<=
Agora, calculando :
Observamos que para . Portanto:
A propriedade de simetria está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar a linearidade. A linearidade em cada argumento significa que se tivermos:
lang<= ax + bz, y rang<= = alang<= x, y rang<= + blang<= z, y rang<=
para escalares lang<= ax + bz, y rang<= = (a x1 + b z1)^2 y1^2 + (a x2 + b z2)^2 y2^2 + (a x3 + b z3)^2 y3^2 e vetores = a^2 x1^2 y1^2 + 2ab x1 z1 y1^2 + b^2 z1^2 y1^2 + a^2 x2^2 y2^2 + 2ab x2 z2 y2^2 + b^2 z2^2 y2^2 + a^2 x3^2 y3^2 + 2ab x3 z3 y3^2 + b^2 z3^2 y3^2 .
Vamos calcular a(x1^2 y1^2 + x2^2 y2^2 + x3^2 y3^2) + b(z1^2 y1^2 + z2^2 y2^2 + z3^2 y3^2) :
= a x1^2 y1^2 + a x2^2 y2^2 + a x3^2 y3^2 + b z1^2 y1^2 + b z2^2 y2^2 + b z3^2 y3^2
Expandindo os quadrados:
Por outro lado, calculando :
Comparando com a expansão anterior, vemos que os termos com não estão presentes na expressão . Isso significa que a linearidade não é satisfeita, a menos que , o que não é garantido para todos os escalares e .
Portanto, a propriedade de linearidade não é satisfeita.

Passo 4

Como a propriedade de linearidade não foi satisfeita, já podemos concluir que a função não é um produto interno em .
Mas, para ser completo, vamos verificar as outras propriedades também.

Passo 5

Vamos verificar a positividade. Essa propriedade requer que lang<= x, x rang<= = x1^4 + x2^4 + x3^4 para todo lang<= x, x rang<= >= 0 , e que somente quando .
Calculando :
Como é sempre não negativo (já que qualquer número real elevado à quarta potência é positivo ou zero), temos que:
Além disso, ocorre somente quando , ou seja, quando .
Então, a propriedade de positividade está satisfeita.

Passo 6

Por último, vamos verificar a não-degenerescência. Ela exige que, se lang<= x, y rang<= = x1^2 cdot 1 + x2^2 cdot 0 + x3^2 cdot 0 = x1^2 = 0 para todo , então deve ser o vetor zero.
Suponha que para todo . Se escolhermos de tal forma que apenas um componente seja não zero, por exemplo, , então:
Isso implica que . Fazendo o mesmo para e , obtemos e , respectivamente. Portanto, .
Assim, a propriedade de não-degenerescência está satisfeita.

Resposta

A função não é um produto interno em porque não satisfaz a propriedade de linearidade.

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