Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em
:
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se uma certa função é um produto interno em um espaço vetorial
. Produto interno é um conceito da álgebra linear que nos permite medir ângulos e comprimentos em espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos conferir se a função dada satisfaz todas as propriedades que definem um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função que queremos verificar:
onde
e
.
Passo 3
Um produto interno deve satisfazer quatro propriedades principais:
- Comutatividade (Simetria):
- Linearidade na primeira variável:
- Positividade:
e se e somente se - Compatibilidade com escalares reais
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 4
1. Comutatividade (Simetria):
Vamos calcular
:
Simplificando, temos:
Que é igual a
. Então, a função é simétrica.
Passo 5
2. Linearidade na primeira variável:
Vamos verificar se
.
Se
e
, então
.
Calculando
:
Distribuindo os termos:
Isso é igual a
. Então, a função é linear na primeira variável.
Passo 6
3. Positividade:
Vamos calcular
:
Queremos que isso seja sempre maior ou igual a zero e que seja zero somente quando
.
Podemos reescrever a expressão como:
Analisando o discriminante da parte quadrática:
Como o discriminante é negativo, a expressão quadrática é sempre positiva, exceto quando
.
Passo 7
4. Compatibilidade com escalares reais:
A função está definida sobre os números reais e a operação é compatível com escalares reais, pois todas as propriedades de escalares são preservadas nas operações de soma e multiplicação usadas na definição da função.
Resposta
Sim, a função
é um produto interno em
.