Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em V :
(e) V=R^2, x=(x1, x2), y=(y1, y2), lang<= x, yrang<==4 x1 y1+x2 y1+x1 y2+4 x2 y2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se uma certa função é um produto interno em um espaço vetorial . Produto interno é um conceito da álgebra linear que nos permite medir ângulos e comprimentos em espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos conferir se a função dada satisfaz todas as propriedades que definem um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função que queremos verificar:
lang<= x, y rang<= = 4x1y1 + x2y1 + x1y2 + 4x2y2
onde e .

Passo 3

Um produto interno deve satisfazer quatro propriedades principais:
  1. Comutatividade (Simetria):
  2. Linearidade na primeira variável:
  3. Positividade: e se e somente se
  4. Compatibilidade com escalares reais
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 4

1. Comutatividade (Simetria):
Vamos calcular lang<= y, x rang<= = 4y1x1 + y2x1 + y1x2 + 4y2x2 :
lang<= y, x rang<= = 4x1y1 + x1y2 + x2y1 + 4x2y2
Simplificando, temos:
Que é igual a . Então, a função é simétrica.

Passo 5

2. Linearidade na primeira variável:
Vamos verificar se lang<= ax + bz, y rang<= = 4(a x1 + b z1)y1 + (a x2 + b z2)y1 + (a x1 + b z1)y2 + 4(a x2 + b z2)y2 .
Se = a(4x1y1 + x2y1 + x1y2 + 4x2y2) + b(4z1y1 + z2y1 + z1y2 + 4z2y2) e , então .
Calculando :
Distribuindo os termos:
Isso é igual a . Então, a função é linear na primeira variável.

Passo 6

3. Positividade:
Vamos calcular lang<= x, x rang<= = 4x1^2 + x2x1 + x1x2 + 4x2^2 = 4x1^2 + 2x1x2 + 4x2^2 :
4x1^2 + 2x1x2 + 4x2^2 = 4(x1^2 + 12x1x2 + x2^2)
Queremos que isso seja sempre maior ou igual a zero e que seja zero somente quando D = (12)^2 - 4(1)(1) = 14 - 4 = -154 < 0 .
Podemos reescrever a expressão como:
Analisando o discriminante da parte quadrática:
Como o discriminante é negativo, a expressão quadrática é sempre positiva, exceto quando .

Passo 7

4. Compatibilidade com escalares reais:
A função está definida sobre os números reais e a operação é compatível com escalares reais, pois todas as propriedades de escalares são preservadas nas operações de soma e multiplicação usadas na definição da função.

Resposta

Sim, a função é um produto interno em .

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