Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(e) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício está pedindo para verificar se uma certa função é um produto interno em um espaço vetorial . Produto interno é um conceito da álgebra linear que nos permite medir ângulos e comprimentos em espaços vetoriais. Para resolver isso, precisamos conferir se a função dada satisfaz todas as propriedades que definem um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função que queremos verificar:
onde e .
Passo 3
Um produto interno deve satisfazer quatro propriedades principais:
Comutatividade (Simetria):
Linearidade na primeira variável:
Positividade: e se e somente se
Compatibilidade com escalares reais
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 4
1. Comutatividade (Simetria):
Vamos calcular :
Simplificando, temos:
Que é igual a . Então, a função é simétrica.
Passo 5
2. Linearidade na primeira variável:
Vamos verificar se .
Se e , então .
Calculando :
Distribuindo os termos:
Isso é igual a . Então, a função é linear na primeira variável.
Passo 6
3. Positividade:
Vamos calcular :
Queremos que isso seja sempre maior ou igual a zero e que seja zero somente quando .
Podemos reescrever a expressão como:
Analisando o discriminante da parte quadrática:
Como o discriminante é negativo, a expressão quadrática é sempre positiva, exceto quando .
Passo 7
4. Compatibilidade com escalares reais:
A função está definida sobre os números reais e a operação é compatível com escalares reais, pois todas as propriedades de escalares são preservadas nas operações de soma e multiplicação usadas na definição da função.