Considere o sitema linear lx+y+3 z=2 x+2 y+4 z=3 x+3 y+a z=b. Para que valores de a e b o sistema
(a) tem uma infinidade de soluções?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com três variáveis ( x, y, z) e três equações:
x + y + 3 z = 2 x + 2 y + 4 z = 3 x + 3 y + a z = b
Queremos descobrir para quais valores de a e b esse sistema tem uma infinidade de soluções. Isso envolve entender conceitos de sistemas lineares e como determinar se as equações são dependentes ou independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver as duas primeiras equações para expressar x e y em termos de z. Assim, podemos usar essas expressões na terceira equação para encontrar condições sobre a e b.
A primeira equação é:
x + y + 3 z = 2 (1)
E a segunda é:
x + 2 y + 4 z = 3 (2)
Vamos subtrair a equação (1) da equação (2) para eliminar x:
(x + 2 y + 4 z) - (x + y + 3 z) = 3 - 2
Simplificando:
y + z = 1 (4)

Passo 3

Agora, da equação (4), podemos expressar y em termos de z:
y = 1 - z (5)
Em seguida, substituímos y da equação (5) na equação (1) para encontrar x:
x + (1 - z) + 3 z = 2
Simplificando:
x + 1 + 2 z = 2 x + 2 z = 1 x = 1 - 2 z (6)

Passo 4

Agora que temos x e y em termos de z, vamos substituir essas expressões na terceira equação do sistema:
x + 3 y + a z = b (3)
Substituindo x = 1 - 2 z e y = 1 - z:
(1 - 2 z) + 3 (1 - z) + a z = b
Simplificando:
1 - 2 z + 3 - 3 z + a z = b 4 - (2 z + 3 z) + a z = b 4 - 5 z + a z = b

Passo 5

Para que o sistema tenha uma infinidade de soluções, a última equação deve ser uma combinação das primeiras, ou seja, deve não impor nenhuma nova restrição. Isso acontece quando os coeficientes de z na última equação se anulam e o termo constante também se ajusta.
Da equação obtida:
4 + (a - 5) z = b
Para que isso seja válido para qualquer valor de z, os coeficientes de z devem satisfazer:
a - 5 = 0 Rightarrow a = 5
E o termo constante deve satisfazer:
4 = b

Resposta

O sistema tem uma infinidade de soluções quando a = 5 e b = 4.

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