Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em V :
(d) V=P2(R), lang<= p, qrang<==integral-1^1 p^prime(x) q^prime(x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial lang<= p, q rang<= = integral-1^1 p^prime(x) q^prime(x) , dx , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A questão quer que a gente verifique se a função definida por
é realmente um produto interno nesse espaço. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que definem um produto interno e verificar se essa função as satisfaz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades de um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial deve satisfazer:
  1. Simetria:
  2. Linearidade na primeira variável: para escalares
  3. Positividade: e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.

Passo 3

Simetria: Vamos ver se lang<= p, q rang<= = integral-1^1 p^prime(x) q^prime(x) , dx = integral-1^1 q^prime(x) p^prime(x) , dx = lang<= q, p rang<= .
Então, a simetria está satisfeita.

Passo 4

Linearidade na primeira variável: Precisamos verificar se lang<= ap + br, q rang<= = integral-1^1 (ap + br)^prime(x) q^prime(x) , dx = integral-1^1 (a p^prime(x) + b r^prime(x)) q^prime(x) , dx .
Vamos calcular:
= a integral-1^1 p^prime(x) q^prime(x) , dx + b integral-1^1 r^prime(x) q^prime(x) , dx = alang<= p, q rang<= + blang<= r, q rang<=
Pela propriedade distributiva da integral:
Portanto, a linearidade está confirmada.

Passo 5

Positividade: Precisamos mostrar que lang<= p, p rang<= = integral-1^1 (p^prime(x))^2 , dx e que lang<= p, p rang<= >= 0 se e somente se .
Calculemos :
Como é sempre não negativo, a integral também será não negativa:
Agora, se , isso implica que para todo em . Isso significa que é uma constante. Mas como estamos em , a única constante que satisfaz é .

Resposta

Sim, a função satisfaz todas as propriedades de um produto interno em .

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