Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em
:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2 com coeficientes reais. A questão quer que a gente verifique se a função definida por
é realmente um produto interno nesse espaço. Para resolver isso, vamos precisar saber quais são as propriedades que definem um produto interno e verificar se essa função as satisfaz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades de um produto interno. Um produto interno
em um espaço vetorial deve satisfazer:
- Simetria:
- Linearidade na primeira variável:
para escalares - Positividade:
e se e somente se
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
Simetria: Vamos ver se
.
Então, a simetria está satisfeita.
Passo 4
Linearidade na primeira variável: Precisamos verificar se
.
Vamos calcular:
Pela propriedade distributiva da integral:
Portanto, a linearidade está confirmada.
Passo 5
Positividade: Precisamos mostrar que
e que
se e somente se
.
Calculemos
:
Como
é sempre não negativo, a integral também será não negativa:
Agora, se
, isso implica que
para todo
em
. Isso significa que
é uma constante. Mas como estamos em
, a única constante que satisfaz
é
.
Resposta
Sim, a função
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
.