O conceito de valor médio é muito comum, pois permite fazermos uma simplificação para obtermos um entendimento do todo, como se estivéssemos trabalhando com algo homogêneo. O valor médio de uma função f(x, y) é definido por 1A integral dupla f(x, y) d A, em que A é a área sobre a qual a integral está definida. Um disco metálico tem raio igual a 20 cm , e sua densidade é dada por rho(x, y)=300-x^2-y^2 g.
Assinale a alternativa que apresenta a densidade média da placa.
a. rho médio =150 g / cm^2é.
b. rho médio =200 g / cm^2é.
c. rho médio =50 g / cm^2é.
d. rho médio =75 g / cm^2é.
e. rho médio =100 g / cm^2é.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um disco metálico com raio de 20 cm e uma função de densidade dada por rhomédio = 1A integral dupla rho(x, y) , dA gramas. O objetivo é encontrar a densidade média dessa placa. Para isso, vamos usar a fórmula do valor médio para funções de duas variáveis, que é dada por:
é
Aqui, representa a área do disco. Vamos precisar calcular a integral dupla da função de densidade sobre a área do disco e depois dividir pelo valor da área para encontrar a densidade média.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área A = pi r^2 do disco. A fórmula para a área de um círculo é:
A = pi (20)^2 = 400pi , cm^2
Dado que o raio é 20 cm, substituímos na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral dupla da função de densidade x = r costheta y = r sintheta dA = r , dr , dtheta sobre a área do disco. Como a região é circular, é mais fácil usar coordenadas polares para integrar. Nas coordenadas polares, temos:
integral dupla rho(x, y) , dA = integral0^2pi integral0^20 (300 - r^2) r , dr , dtheta
Então, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^20 (300 - r^2) r , dr = integral0^20 (300r - r^3) , dr :
integral 300r , dr = 150r^2 integral r^3 , dr = 14r^4
Integrando termo a termo:
150r^2 - 14r^4 |0^20 = 150(20)^2 - 14(20)^4 - [0 - 0] = 150 times 400 - 14 times 160000
Então:
150 times 400 = 60,000 14 times 160,000 = 40,000 60,000 - 40,000 = 20,000
Calculando:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado obtido com relação a integral0^2pi 20,000 , dtheta = 20,000 times 2pi = 40,000pi :

Passo 6

Com a integral dupla calculada, podemos agora encontrar a densidade média:
rhomédio = 1A integral dupla rho(x, y) , dA = 1400pi times 40,000pi = 40,000pi400pi = 100 , g/cm^2 é

Resposta

A densidade média da placa é é. Portanto, a alternativa correta é a letra e.

Exercícios relacionados