O conceito de valor médio é muito comum, pois permite fazermos uma simplificação para obtermos um entendimento do todo, como se estivéssemos trabalhando com algo homogêneo. O valor médio de uma função é definido por , em que é a área sobre a qual a integral está definida. Um disco metálico tem raio igual a 20 cm , e sua densidade é dada por .
Assinale a alternativa que apresenta a densidade média da placa.
a. é.
b. é.
c. é.
d. é.
e. é.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um disco metálico com raio de 20 cm e uma função de densidade dada por gramas. O objetivo é encontrar a densidade média dessa placa. Para isso, vamos usar a fórmula do valor médio para funções de duas variáveis, que é dada por:
é
Aqui, representa a área do disco. Vamos precisar calcular a integral dupla da função de densidade sobre a área do disco e depois dividir pelo valor da área para encontrar a densidade média.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do disco. A fórmula para a área de um círculo é:
Dado que o raio é 20 cm, substituímos na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral dupla da função de densidade sobre a área do disco. Como a região é circular, é mais fácil usar coordenadas polares para integrar. Nas coordenadas polares, temos:
Então, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado obtido com relação a :

Passo 6

Com a integral dupla calculada, podemos agora encontrar a densidade média:
é

Resposta

A densidade média da placa é é. Portanto, a alternativa correta é a letra e.

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