Encontre a equação do plano tangente a função f(x, y) = 3x * e^(2xy) no ponto (1, 0, f(1, 0)).

Passo 1

Então, a gente tem que achar a equação do plano tangente à função no ponto . Aqui, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo e na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando mudamos uma variável mantendo a outra constante.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto:
Agora, a derivada parcial em relação a :
Aqui, é uma constante em relação a , então:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Primeiro, :
Segundo, :

Passo 5

Agora que temos , e , podemos usar a fórmula da equação do plano tangente:
Substituindo , :

Resposta

A equação do plano tangente é .

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