Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente precisa resolver a equação diferencial . Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais. Para resolver, vamos precisar entender se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que nos ajude a torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma equação na forma é exata se . Vamos calcular essas derivadas parciais:


Como , a equação não é exata. Então, precisamos achar um fator integrante que, quando multiplicarmos na equação original, torne-a exata.

Passo 3

Para encontrar o fator integrante, vamos supor que ele depende apenas de ou apenas de . Vamos tentar com . O fator integrante deve satisfazer:
Substituindo os valores que já temos:
Essa equação parece complicada, então vamos tentar um fator integrante que depende só de . Após algumas tentativas, descobrimos que um fator integrante simples é , mas nesse caso específico, simplificaremos usando um fator integrante constante.

Passo 4

Na verdade, ao tentar um fator integrante diferente, percebemos que existe um erro na nossa abordagem inicial. Vamos reconsiderar e tentar um fator integrante que depende apenas de . Após recalcular, encontramos que o fator integrante adequado é , onde ajusta a equação para ser exata. Nesse caso, o fator integrante será .

Passo 5

Multiplicando a equação original pelo fator integrante , temos:
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata:
Calculando as derivadas parciais novamente:
Parece que ainda não é exata, então precisamos ajustar nosso fator integrante. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 6

Vamos tentar encontrar um fator integrante que seja uma função de . Assumindo , encontramos que o fator que funciona é . Multiplicando a equação original por :
Agora, vamos verificar se é exata:
Calculando as derivadas:
Como , ainda não é exata. Parece que precisamos reconsiderar nosso método.

Resposta

Após várias tentativas, concluímos que a equação não possui um fator integrante simples e pode exigir métodos avançados para solução. Portanto, a resposta final permanece como a equação original, indicando que métodos adicionais são necess��rios para resolver completamente.

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