Uma força eletromotriz de 100 cost é aplicada a um circuito RC em série no qual a resistência é de 100 ohms e o capacitor de farad. (Num circuito em série com uma resistência , um capacitor e força eletromotriz a carga no capacitor satisfaz a equação . )
Determine a carga no capacitor no instante t, sabendo que a carga inicial é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RC em série onde uma força eletromotriz (V) de 100 cos(t) está sendo aplicada. A resistência ® é de 100 ohms e o capacitor © tem uma capacitância de farads. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga no capacitor no instante de tempo t, sabendo que no começo, quando t = 0, a carga era zero ( ).
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação que relaciona carga, corrente e força eletromotriz em circuitos RC. Essa equação é uma equação diferencial que leva em conta a resistência e a capacitância do circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o comportamento da carga no capacitor. A equação é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando um pouco:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 100 para facilitar os cálculos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.

Passo 4

Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:
Onde é o coeficiente de na equação diferencial, que aqui é 100. Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante para facilitar a resolução:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto :

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a t para encontrar :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos resolver a integral . Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a solução será da forma:
Aqui, e , então:

Passo 8

Substituindo de volta na equação original:
Agora, isolamos :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante C:

Passo 10

Finalmente, substituímos o valor de C de volta na expressão de :
Podemos simplificar isso para deixar mais claro:

Resposta

A carga no capacitor no instante t é dada por:

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