Uma força eletromotriz de 100 cost é aplicada a um circuito RC em série no qual a resistência é de 100 ohms e o capacitor de
farad. (Num circuito
em série com uma resistência
, um capacitor
e força eletromotriz
a carga
no capacitor satisfaz a equação
. )
Determine a carga no capacitor no instante t, sabendo que a carga inicial é
Determine a carga no capacitor no instante t, sabendo que a carga inicial é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito RC em série onde uma força eletromotriz (V) de 100 cos(t) está sendo aplicada. A resistência ® é de 100 ohms e o capacitor © tem uma capacitância de
farads. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a carga no capacitor no instante de tempo t, sabendo que no começo, quando t = 0, a carga era zero (
).
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação que relaciona carga, corrente e força eletromotriz em circuitos RC. Essa equação é uma equação diferencial que leva em conta a resistência e a capacitância do circuito.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que descreve o comportamento da carga no capacitor. A equação é:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando um pouco:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 100 para facilitar os cálculos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que podemos resolver usando o fator integrante.
Passo 4
Para resolver essa equação diferencial, vamos encontrar o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Onde
é o coeficiente de
na equação diferencial, que aqui é 100. Então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante para facilitar a resolução:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a t para encontrar
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde C é a constante de integração.
Passo 7
Vamos resolver a integral
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos que a solução será da forma:
Aqui,
e
, então:
Passo 8
Substituindo de volta na equação original:
Agora, isolamos
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante C:
Passo 10
Finalmente, substituímos o valor de C de volta na expressão de
:
Podemos simplificar isso para deixar mais claro:
Resposta
A carga no capacitor no instante t é dada por:
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?
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